Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho các số dương $x,y,z$ sao cho $x.y.z=1$.Chứng mình rằng: $x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 LyTieuDu142

LyTieuDu142

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Thanh Hoá
  • Sở thích:Maths

Đã gửi 11-05-2014 - 09:21

Cho các số dương $x,y,z$ sao cho $x.y.z=1$.Chứng mình rằng:

 

$x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$



#2 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 11-05-2014 - 09:31

Cho các số dương $x,y,z$ sao cho $x.y.z=1$.Chứng mình rằng:

 

$x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

Đổi biến theo $p,q,r$,  ta cần CM: 

$p^{2}-2q+p-2q\geqslant 0\Leftrightarrow p^{2}+p-4q\geqslant 0$

Mà $1=r\geqslant \frac{p(4q-p^{2})}{9}\rightarrow 4q-p^{2}\leqslant \frac{9}{p}\rightarrow q\leqslant \frac{p^{3}+9}{4p}$

Cần CM: 

$\frac{p^{2}+p}{4}\geqslant \frac{p^{3}+9}{4p}\Leftrightarrow p\geqslant 3$ (Đúng vì $r=1$) (DPCM)


Đứng dậy và bước tiếp

#3 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 11-05-2014 - 09:55

Cho các số dương $x,y,z$ sao cho $x.y.z=1$.Chứng mình rằng:

 

$x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

Theo AM-GM có $\sum x\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

Từ đó $\sum x^{2}+\sum x\geq \sum \left ( x^{2}+1 \right )\geq 2\sum xy$

Đó là đpcm...


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#4 hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội-Amsterdam
  • Sở thích:máy bay máy bò

Đã gửi 11-05-2014 - 11:33

Theo AM-GM có $\sum x\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

Từ đó $\sum x^{2}+\sum x\geq \sum \left ( x^{2}+1 \right )\geq 2\sum xy$

Đó là đpcm...

 em không hiểu làm sao lại ra dc tn, mong anh trình bày rõ



#5 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 11-05-2014 - 11:41

Cho các số dương $x,y,z$ sao cho $x.y.z=1$.Chứng mình rằng:

 

$x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

 

Trước tiên, ta có bổ đề sau: 

 

Với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$ (có thể dùng nguyên lí Dirichlet để chứng minh)

 

Áp dụng bổ đề trên ta có:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}+3=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$



#6 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 11-05-2014 - 12:31

Theo AM-GM có $\sum x\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

Từ đó $\sum x^{2}+\sum x\geq \sum \left ( x^{2}+1 \right )\geq 2\sum xy$

Đó là đpcm...

Dòng này không đúng


Đứng dậy và bước tiếp

#7 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 12-05-2014 - 19:44

Dòng này không đúng

Ừ. Mình làm sai rồi. Làm như trauvang!..


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#8 hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội-Amsterdam
  • Sở thích:máy bay máy bò

Đã gửi 12-05-2014 - 20:25

các anh ơi dấu bằng của bdt của anh trauvang xảy ra khi nào thế?



#9 trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN - ĐHBKHN

Đã gửi 13-05-2014 - 22:16

các anh ơi dấu bằng của bdt của anh trauvang xảy ra khi nào thế?

 

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ e ơi






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh