Đến nội dung

Hình ảnh

Cho các số dương $x,y,z$ sao cho $x.y.z=1$.Chứng mình rằng: $x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
LyTieuDu142

LyTieuDu142

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Cho các số dương $x,y,z$ sao cho $x.y.z=1$.Chứng mình rằng:

 

$x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$



#2
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Cho các số dương $x,y,z$ sao cho $x.y.z=1$.Chứng mình rằng:

 

$x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

Đổi biến theo $p,q,r$,  ta cần CM: 

$p^{2}-2q+p-2q\geqslant 0\Leftrightarrow p^{2}+p-4q\geqslant 0$

Mà $1=r\geqslant \frac{p(4q-p^{2})}{9}\rightarrow 4q-p^{2}\leqslant \frac{9}{p}\rightarrow q\leqslant \frac{p^{3}+9}{4p}$

Cần CM: 

$\frac{p^{2}+p}{4}\geqslant \frac{p^{3}+9}{4p}\Leftrightarrow p\geqslant 3$ (Đúng vì $r=1$) (DPCM)


Đứng dậy và bước tiếp

#3
Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết

Cho các số dương $x,y,z$ sao cho $x.y.z=1$.Chứng mình rằng:

 

$x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

Theo AM-GM có $\sum x\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

Từ đó $\sum x^{2}+\sum x\geq \sum \left ( x^{2}+1 \right )\geq 2\sum xy$

Đó là đpcm...


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#4
hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

Theo AM-GM có $\sum x\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

Từ đó $\sum x^{2}+\sum x\geq \sum \left ( x^{2}+1 \right )\geq 2\sum xy$

Đó là đpcm...

 em không hiểu làm sao lại ra dc tn, mong anh trình bày rõ



#5
trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Cho các số dương $x,y,z$ sao cho $x.y.z=1$.Chứng mình rằng:

 

$x^2+y^2+z^2+x+y+z\geq 2(xy+yz+zx)$

 

Trước tiên, ta có bổ đề sau: 

 

Với mọi số thực dương $a,b,c$ ta luôn có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$ (có thể dùng nguyên lí Dirichlet để chứng minh)

 

Áp dụng bổ đề trên ta có:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+x+y+z\geq x^{2}+y^{2}+z^{2}+3=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz+1\geq 2(xy+yz+zx)$



#6
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Theo AM-GM có $\sum x\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$

Từ đó $\sum x^{2}+\sum x\geq \sum \left ( x^{2}+1 \right )\geq 2\sum xy$

Đó là đpcm...

Dòng này không đúng


Đứng dậy và bước tiếp

#7
Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết

Dòng này không đúng

Ừ. Mình làm sai rồi. Làm như trauvang!..


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#8
hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết

các anh ơi dấu bằng của bdt của anh trauvang xảy ra khi nào thế?



#9
trauvang97

trauvang97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

các anh ơi dấu bằng của bdt của anh trauvang xảy ra khi nào thế?

 

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ e ơi






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh