Chủ đề này có 2 trả lời

[marsu]

Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn . Dựng qua I hai dây cung bất kì MIN và EIF . Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF .
a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp .
b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi .
c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau . Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn nhất .

Click to view :Đề thi vào lớp 10 hệ THPT chuyên ĐHKHTN ĐHQG HN năm học 1999-2000

[L Lawliet]

a) Ta có: $M'F'$, $F'N'$, $N'E'$, $M'E'$ lần lượt là đường trung bình của $\Delta IMF$, $\Delta IFN$, $\Delta INE$, $\Delta IME$ nên suy ra $\widehat{IM'F'}=\widehat{IMF}$, $\widehat{E'M'N'}=\widehat{EMN}$, $\widehat{E'N'M'}=\widehat{ENM}$, $\widehat{IN'F'}=\widehat{INF}$.
Mặt khác: $\widehat{EMF}+\widehat{ENF}=180^o$ suy ra $\widehat{E'M'F'}+\widehat{E'N'F'}=180o$ hay tứ giác $M'E'N'F'$ nội tiếp được.
b) Gọi $O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $M'E'N'F'$
Ta có: $\widehat{F'E'N'}=\widehat{FEN}$ mà $\widehat{F'E'N'}=\frac{1}{2}\widehat{F'O'N'}$ (góc ở nội tiếp bằng nữa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung), tương tự ta có $\widehat{FEN}=\frac{1}{2}\widehat{FON}$.
Suy ra: $\widehat{F'O'N'}=\widehat{FON}$.
Mặt khác: $\widehat{O'F'N'}=\frac{1}{2}(180^o-\widehat{F'O'N'})$, $\widehat{OFN}=\frac{1}{2}(180^o - \widehat{FON})$.
Suy ra: $\widehat{O'F'N'}=\widehat{OFN}$.
Ta lại có: $F'N'//FN$ ($F'N'$ là đường trung bình của $\Delta IFN$).
Suy ra: $F'O'//FO$ hay $F'O'$ là đường trung bình của $\Delta IOF$
Suy ra: $O'F'=\frac{1}{2}OF$ (không đổi)
c) Ta có diện tích tứ giác $M'E'N'F'=\frac{1}{4}$ diện tích tứ giác $MENF$, vậy diện tích tứ giác $M'E'N'F'$ lớn nhất thì diện tích tứ giác $MENF$ cũng phải lớn nhất.
Ta có: diện tích tứ giác $MENF=\frac{1}{2}=EF.MN$.
Mà $EF.MN\le 2R.2R$ ($R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $MENF$).
Dấu $"="$ xảy ra khi $EF$ và $MN$ là đường kính và $EF$ vuông góc với $MN$ tại $I$, suy ra: $I$ trùng $O$ thì diện tích tứ giác $M'E'N'F'$ lớn nhất và diện tích lớn nhất đó bằng: $\frac{1}{2}R^2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 15-07-2012 - 12:45

[Nguyen Huy Tuyen]

a) Ta có: $M'F'$, $F'N'$, $N'E'$, $M'E'$ lần lượt là đường trung bình của $\Delta IMF$, $\Delta IFN$, $\Delta INE$, $\Delta IME$ nên suy ra $\widehat{IM'F'}=\widehat{IMF}$, $\widehat{E'M'N'}=\widehat{EMN}$, $\widehat{E'N'M'}=\widehat{ENM}$, $\widehat{IN'F'}=\widehat{INF}$.
Mặt khác: $\widehat{EMF}+\widehat{ENF}=180^o$ suy ra $\widehat{E'M'F'}+\widehat{E'N'F'}=180o$ hay tứ giác $M'E'N'F'$ nội tiếp được.
b) Gọi $O'$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $M'E'N'F'$
Ta có: $\widehat{F'E'N'}=\widehat{FEN}$ mà $\widehat{F'E'N'}=\frac{1}{2}\widehat{F'O'N'}$ (góc ở nội tiếp bằng nữa số đo góc ở tâm cùng chắn 1 cung), tương tự ta có $\widehat{FEN}=\frac{1}{2}\widehat{FON}$.
Suy ra: $\widehat{F'O'N'}=\widehat{FON}$.
Mặt khác: $\widehat{O'F'N'}=\frac{1}{2}(180^o-\widehat{F'O'N'})$, $\widehat{OFN}=\frac{1}{2}(180^o - \widehat{FON})$.
Suy ra: $\widehat{O'F'N'}=\widehat{OFN}$.
Ta lại có: $F'N'//FN$ ($F'N'$ là đường trung bình của $\Delta IFN$).
Suy ra: $F'O'//FO$ hay $F'O'$ là đường trung bình của $\Delta IOF$
Suy ra: $O'F'=\frac{1}{2}OF$ (không đổi)
c) Ta có diện tích tứ giác $M'E'N'F'=\frac{1}{4}$ diện tích tứ giác $MENF$, vậy diện tích tứ giác $M'E'N'F'$ lớn nhất thì diện tích tứ giác $MENF$ cũng phải lớn nhất.
Ta có: diện tích tứ giác $MENF=\frac{1}{2}=EF.MN$.
Mà $EF.MN\le 2R.2R$ ($R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác $MENF$).
Dấu $"="$ xảy ra khi $EF$ và $MN$ là đường kính và $EF$ vuông góc với $MN$ tại $I$, suy ra: $I$ trùng $O$ thì diện tích tứ giác $M'E'N'F'$ lớn nhất và diện tích lớn nhất đó bằng: $\frac{1}{2}R^2$.

phần c bị sai rồi bạn, I cố định mà, chưa chắc có phải I trùng vs O đâu