Đến nội dung


Hình ảnh

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-...\right)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 12-05-2014 - 06:18

Lâu rồi không đụng đến lim gụ có bài toán mình muốn nhờ các bạn xem giúp :D

 

Tính $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)$$

 

Cám ơn các bạn.



#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1566 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 12-11-2017 - 12:49

Lâu rồi không đụng đến lim gụ có bài toán mình muốn nhờ các bạn xem giúp :D

 

Tính $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)$$

 

Cám ơn các bạn.

 

Ta có các khai triển sau

  • $\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)=\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{1}{6}\left(\left(\frac{x}{1+x}\right)^3\right)+\text{o}\left(\frac{x}{1+x}\right)^3,$
  • $\frac{\sin x}{1+ \sin x}=\sin x \left(1-\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x\right) ++\text{o}\left(\sin^4{x}\right)$.

Vì $x$, $\frac{x}{x+1}$ và $\sin x$ là các đại lượng vô cùng bé tương đương khi $x\to 0$ nên

  • $\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)= x \left(1-x+x^2-x^3\right)-\frac{x^3}{6}\left(1-x\right)^3+\text{o}\left(x^4\right)=x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{1}{2}x^4+\text{o}\left(x^4\right),$
  • $\frac{\sin x}{1+ \sin x}=\sin x \left(1-\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x\right) +\text{o}\left(\sin^4{x}\right)=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)\left[ 1-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3\right]=x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{2}{3}x^4+\text{o}\left(x^4\right)$.
  • $\sin^4 x= x^4+\text{o}(x^4).$

 

Do đó, 

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)= \frac{1}{x^4} \left( -x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{1}{2}x^4-\left( x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{2}{3}x^4\right)\right)=\frac{1}{6}.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 13-11-2017 - 22:56

Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh