Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-...\right)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 12-05-2014 - 06:18

Lâu rồi không đụng đến lim gụ có bài toán mình muốn nhờ các bạn xem giúp :D

 

Tính $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)$$

 

Cám ơn các bạn.



#2 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1769 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 12-11-2017 - 12:49

Lâu rồi không đụng đến lim gụ có bài toán mình muốn nhờ các bạn xem giúp :D

 

Tính $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)$$

 

Cám ơn các bạn.

 

Ta có các khai triển sau

  • $\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)=\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{1}{6}\left(\left(\frac{x}{1+x}\right)^3\right)+\text{o}\left(\frac{x}{1+x}\right)^3,$
  • $\frac{\sin x}{1+ \sin x}=\sin x \left(1-\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x\right) ++\text{o}\left(\sin^4{x}\right)$.

Vì $x$, $\frac{x}{x+1}$ và $\sin x$ là các đại lượng vô cùng bé tương đương khi $x\to 0$ nên

  • $\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)= x \left(1-x+x^2-x^3\right)-\frac{x^3}{6}\left(1-x\right)^3+\text{o}\left(x^4\right)=x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{1}{2}x^4+\text{o}\left(x^4\right),$
  • $\frac{\sin x}{1+ \sin x}=\sin x \left(1-\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x\right) +\text{o}\left(\sin^4{x}\right)=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)\left[ 1-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3\right]=x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{2}{3}x^4+\text{o}\left(x^4\right)$.
  • $\sin^4 x= x^4+\text{o}(x^4).$

 

Do đó, 

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)= \frac{1}{x^4} \left( -x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{1}{2}x^4-\left( x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{2}{3}x^4\right)\right)=\frac{1}{6}.$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 13-11-2017 - 22:56

Đời người là một hành trình...


#3 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-11-2017 - 07:42

Ta có các khai triển sau

  • $\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)=\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{1}{6}\left(\left(\frac{x}{1+x}\right)^3\right)+\text{o}\left(\frac{x}{1+x}\right)^3,$
  • $\frac{\sin x}{1+ \sin x}=\sin x \left(1-\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x\right) ++\text{o}\left(\sin^4{x}\right)$.

Vì $x$, $\frac{x}{x+1}$ và $\sin x$ là các đại lượng vô cùng bé tương đương khi $x\to 0$ nên

  • $\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)= x \left(1-x+x^2-x^3\right)-\frac{x^3}{6}\left(1-x\right)^3+\text{o}\left(x^4\right)=x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{1}{2}x^4+\text{o}\left(x^4\right),$
  • $\frac{\sin x}{1+ \sin x}=\sin x \left(1-\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x\right) +\text{o}\left(\sin^4{x}\right)=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)\left[ 1-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3\right]=x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{2}{3}x^4+\text{o}\left(x^4\right)$.
  • $\sin^4 x= x^4+\text{o}(x^4).$

 

Do đó, 

$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)= \frac{1}{x^4} \left( -x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{1}{2}x^4-\left( x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{2}{3}x^4\right)\right)=\frac{1}{6}.$$

Bài làm của bạn chuẩn xác rồi ạ, +10 điểm PSW.


$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh