Lâu rồi không đụng đến lim gụ có bài toán mình muốn nhờ các bạn xem giúp
Tính $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)$$
Cám ơn các bạn.
Lâu rồi không đụng đến lim gụ có bài toán mình muốn nhờ các bạn xem giúp
Tính $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)$$
Cám ơn các bạn.
Lâu rồi không đụng đến lim gụ có bài toán mình muốn nhờ các bạn xem giúp
Tính $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)$$
Cám ơn các bạn.
Ta có các khai triển sau
Vì $x$, $\frac{x}{x+1}$ và $\sin x$ là các đại lượng vô cùng bé tương đương khi $x\to 0$ nên
Do đó,
$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)= \frac{1}{x^4} \left( -x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{1}{2}x^4-\left( x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{2}{3}x^4\right)\right)=\frac{1}{6}.$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 13-11-2017 - 22:56
Đời người là một hành trình...
Ta có các khai triển sau
- $\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)=\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{1}{6}\left(\left(\frac{x}{1+x}\right)^3\right)+\text{o}\left(\frac{x}{1+x}\right)^3,$
- $\frac{\sin x}{1+ \sin x}=\sin x \left(1-\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x\right) ++\text{o}\left(\sin^4{x}\right)$.
Vì $x$, $\frac{x}{x+1}$ và $\sin x$ là các đại lượng vô cùng bé tương đương khi $x\to 0$ nên
- $\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)= x \left(1-x+x^2-x^3\right)-\frac{x^3}{6}\left(1-x\right)^3+\text{o}\left(x^4\right)=x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{1}{2}x^4+\text{o}\left(x^4\right),$
- $\frac{\sin x}{1+ \sin x}=\sin x \left(1-\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x\right) +\text{o}\left(\sin^4{x}\right)=\left(x-\frac{x^3}{6}\right)\left[ 1-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)+\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^2-\left(x-\frac{x^3}{6}\right)^3\right]=x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{2}{3}x^4+\text{o}\left(x^4\right)$.
- $\sin^4 x= x^4+\text{o}(x^4).$
Do đó,
$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)= \frac{1}{x^4} \left( -x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{1}{2}x^4-\left( x-x^2+\frac{5}{6}x^3-\frac{2}{3}x^4\right)\right)=\frac{1}{6}.$$
Bài làm của bạn chuẩn xác rồi ạ, +10 điểm PSW.
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh