Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{x^2+y^2+1}{(2x^2+1)(2y^2+1)}+\frac{1}{xy}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 huynhht

huynhht

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Đã gửi 12-05-2014 - 15:00

Cho 2 số dương x;y thỏa mãn $ x+y=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của  $P=\frac{x^2+y^2+1}{(2x^2+1)(2y^2+1)}+\frac{1}{xy}$



#2 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 12-05-2014 - 15:27

Cho 2 số dương x;y thỏa mãn $ x+y=2$. Tìm giá tr$f(t)=\frac{5-2t}{4t^{2}-4t+9}+\frac{1}{t}=\frac{5t-2t^{2}+4t^{2}-4t+9}{t(4t^{2}-4t+9)}=\frac{2t^{2}+t+9}{4t^{3}-4t^{2}+9t};0ị nhỏ nhất của  $P=\frac{x^2+y^2+1}{(2x^2+1)(2y^2+1)}+\frac{1}{xy}$

$P=\frac{5-2xy}{4x^{2}y^{2}+8-4xy+1}+\frac{1}{xy}=\frac{5-2t}{4t^{2}-4t+9}+\frac{1}{t}$ $(t=xy)$

Xét hàm: $f(t)=\frac{2t^{2}+t+9}{4t^{3}-4t^{2}+9t}$$0< t\leqslant 1$

Có: $f(t)-\frac{4}{3}=\frac{(16t^{2}-6t+27)(1-t)}{3(4t^{3}-4t^{2}+9t)}\geqslant 0$

Vậy $MinP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow x=y=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 12-05-2014 - 15:29

Đứng dậy và bước tiếp

#3 huynhht

huynhht

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Đã gửi 12-05-2014 - 15:50

$P=\frac{5-2xy}{4x^{2}y^{2}+8-4xy+1}+\frac{1}{xy}=\frac{5-2t}{4t^{2}-4t+9}+\frac{1}{t}$ $(t=xy)$

Xét hàm: $f(t)=\frac{2t^{2}+t+9}{4t^{3}-4t^{2}+9t}$$0< t\leqslant 1$

Có: $f(t)-\frac{4}{3}=\frac{(16t^{2}-6t+27)(1-t)}{3(4t^{3}-4t^{2}+9t)}\geqslant 0$

Vậy $MinP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow x=y=1$

Dạ thưa anh , em học lớp 10, anh giải thích kĩ hơn được không ạ?



#4 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 12-05-2014 - 18:07

Dạ thưa anh , em học lớp 10, anh giải thích kĩ hơn được không ạ?

Cách giải trên không dùng đạo hàm, lớp 10 vẫn hiểu được mà, mình đưa biểu thức về 1 biến $xy$ thôi (thay $x+y=2$)

P/s: Mình cũng lớp 10 thôi à :biggrin:


Đứng dậy và bước tiếp

#5 huynhht

huynhht

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết

Đã gửi 12-05-2014 - 18:37

Cách giải trên không dùng đạo hàm, lớp 10 vẫn hiểu được mà, mình đưa biểu thức về 1 biến $xy$ thôi (thay $x+y=2$)

P/s: Mình cũng lớp 10 thôi à :biggrin:

Sao ta có thể xét luôn $f(t)-\frac{4}{3}$ được nhỉ? Sao có thể tìm được cách đấy vậy?



#6 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 12-05-2014 - 18:40

Sao ta có thể xét luôn $f(t)-\frac{4}{3}$ được nhỉ? Sao có thể tìm được cách đấy vậy?

Đoán dấu bằng khi $t=1$ thử thì được thôi!


Đứng dậy và bước tiếp

#7 conan98md

conan98md

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-05-2014 - 22:58

Cho 2 số dương x;y thỏa mãn $ x+y=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của  $P=\frac{x^2+y^2+1}{(2x^2+1)(2y^2+1)}+\frac{1}{xy}$

áp dụng BDT AM-GM :$(2x^{2}+1)(2y^{2}+1)$$\leq$ $(x^{2}+y^{2}+1)^{2}$
 
$\Rightarrow$ P$\geq$ $\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{3xy}+\frac{2}{3xy}$
 
áp dụng BDT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$\geq$ $\frac{4}{a+b}$
 
$\Rightarrow$ P $\geq$ $\frac{4}{5+xy}+\frac{2}{3xy}$
 
$\Rightarrow$ P $\geq$ $\frac{4}{3}$ (xy$\leq$ 1)
 
dấu = xảy ra khi x=y=1





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh