Chủ đề này có 6 trả lời

[huynhht]

Cho 2 số dương x;y thỏa mãn $ x+y=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của  $P=\frac{x^2+y^2+1}{(2x^2+1)(2y^2+1)}+\frac{1}{xy}$

[buitudong1998]

Cho 2 số dương x;y thỏa mãn $ x+y=2$. Tìm giá tr$f(t)=\frac{5-2t}{4t^{2}-4t+9}+\frac{1}{t}=\frac{5t-2t^{2}+4t^{2}-4t+9}{t(4t^{2}-4t+9)}=\frac{2t^{2}+t+9}{4t^{3}-4t^{2}+9t};0ị nhỏ nhất của  $P=\frac{x^2+y^2+1}{(2x^2+1)(2y^2+1)}+\frac{1}{xy}$

$P=\frac{5-2xy}{4x^{2}y^{2}+8-4xy+1}+\frac{1}{xy}=\frac{5-2t}{4t^{2}-4t+9}+\frac{1}{t}$ $(t=xy)$

Xét hàm: $f(t)=\frac{2t^{2}+t+9}{4t^{3}-4t^{2}+9t}$$0< t\leqslant 1$

Có: $f(t)-\frac{4}{3}=\frac{(16t^{2}-6t+27)(1-t)}{3(4t^{3}-4t^{2}+9t)}\geqslant 0$

Vậy $MinP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow x=y=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 12-05-2014 - 15:29

[huynhht]

$P=\frac{5-2xy}{4x^{2}y^{2}+8-4xy+1}+\frac{1}{xy}=\frac{5-2t}{4t^{2}-4t+9}+\frac{1}{t}$ $(t=xy)$

Xét hàm: $f(t)=\frac{2t^{2}+t+9}{4t^{3}-4t^{2}+9t}$$0< t\leqslant 1$

Có: $f(t)-\frac{4}{3}=\frac{(16t^{2}-6t+27)(1-t)}{3(4t^{3}-4t^{2}+9t)}\geqslant 0$

Vậy $MinP=\frac{4}{3}\Leftrightarrow x=y=1$

Dạ thưa anh , em học lớp 10, anh giải thích kĩ hơn được không ạ?

[buitudong1998]

Dạ thưa anh , em học lớp 10, anh giải thích kĩ hơn được không ạ?

Cách giải trên không dùng đạo hàm, lớp 10 vẫn hiểu được mà, mình đưa biểu thức về 1 biến $xy$ thôi (thay $x+y=2$)

P/s: Mình cũng lớp 10 thôi à

[huynhht]

Cách giải trên không dùng đạo hàm, lớp 10 vẫn hiểu được mà, mình đưa biểu thức về 1 biến $xy$ thôi (thay $x+y=2$)

P/s: Mình cũng lớp 10 thôi à

Sao ta có thể xét luôn $f(t)-\frac{4}{3}$ được nhỉ? Sao có thể tìm được cách đấy vậy?

[buitudong1998]

Sao ta có thể xét luôn $f(t)-\frac{4}{3}$ được nhỉ? Sao có thể tìm được cách đấy vậy?

Đoán dấu bằng khi $t=1$ thử thì được thôi!

[conan98md]

Cho 2 số dương x;y thỏa mãn $ x+y=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của  $P=\frac{x^2+y^2+1}{(2x^2+1)(2y^2+1)}+\frac{1}{xy}$

áp dụng BDT AM-GM :$(2x^{2}+1)(2y^{2}+1)$$\leq$ $(x^{2}+y^{2}+1)^{2}$

 

$\Rightarrow$ P$\geq$ $\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{3xy}+\frac{2}{3xy}$

 

áp dụng BDT $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$\geq$ $\frac{4}{a+b}$

 

$\Rightarrow$ P $\geq$ $\frac{4}{5+xy}+\frac{2}{3xy}$

 

$\Rightarrow$ P $\geq$ $\frac{4}{3}$ (xy$\leq$ 1)

 

dấu = xảy ra khi x=y=1