Bài $6$ . Giả sử khẳng định đúng với $n=k$
Ta có $\sum a_{i} \leq 1 + \sum a_{i}a_{j}$
Ta cm $\sum a_{i} + a_{k+1} \leq 1 + \sum a_{i}a_{j} + a_{k+1}(\sum a_{i})$
Nếu $\sum a_{i}$ chạy từ $1$ đến $k+1$ bé hơn $1$ bdt hiển nhiên đúng
Nếu $\sum a_{i} \geq 1$ cũng đúng theo gt quy nạp và cái đó .
Bài $4$ Cho $\sum x=1$ và $x,y,z>0$ CMR : $\sum xy - xyz \leq \frac{8}{27}$ mới đúng .
Ta có $(x+y+z)(xy+xz+yz)-xyz = (x+y)(y+z)(x+z) \leq (\frac{x+y+y+z+x+z}{3})^{3} = \frac{8}{27}$
Như đề của bác là giả sử $x=0$ thì max vẫn là $\frac{8}{27}$
Bài $5$ , Bất đẳng thức tương đương $\sum x^{2} - \sum xy \geq 4 - xyz - \sum xy$
Hay $(\sum x)(\sum x^{2}-\sum xy)\geq 12 - 3xyz - 3\sum xy <=> \sum x^{3} - 3xyz \geq 12 - 3xyz - 3\sum xy<=> \sum x^{3} + (\sum x)(\sum xy ) \geq \frac{4(\sum a)^{3}}{9} <=> 9\sum x^{3} + 9\sum xy(x+y) + 27xyz \geq 4\sum x^{3} + 12\prod (x+y) <=> 5\sum x^{3} + 9\sum xy(x+y)+27xyz \geq 12\sum xy(x+y) + 24xyz <=> 5\sum x^{3} + 3xyz \geq 3\sum xy(x+y)$
Theo bdt Schur $5\sum x^{3} + 3xyz \geq 5 ( \sum xy(x+y) - 3xyz) + 3xyz$
Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum xy(x+y) \geq 6xyz$ hiển nhiên đúng theo $AM-GM$ cho 6 số .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-05-2014 - 22:37