Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

1. Cho a,b > 0 thỏa mãn: $ab+1\leq b$ .Tìm Min P=$a+\frac{1}{a^{2}}+b^{2}+\frac{1}{b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1 nevermore1104

nevermore1104

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tiền Phong

Đã gửi 12-05-2014 - 20:11

1. Cho a,b > 0 thỏa mãn: $ab+1\leq b$ .Tìm Min P=$a+\frac{1}{a^{2}}+b^{2}+\frac{1}{b}$

 

2.Cho a,b,c > 0; a+b+c=3. CMR: $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

3.Cho $0\leq a,b,c\leq 2.CMR:2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leq 4$

 

4.Cho : $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn: x+y+z=1.CMR: $xy+yz+zx-xyz\leq \frac{8}{27}$

 

5.Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn x+y+z=3.CMR: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 4$

 

6.Cho: $0\leq a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n}\leq 1$. CMR: $\sum_{i=1}^{n}a_{i}\leq 1+\sum_{1\leq i\leq j\leq n}^{}a_{i}a_{j}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nevermore1104: 13-05-2014 - 21:01


#2 Yagami Raito

Yagami Raito

    Master Tetsuya

  • Thành viên
  • 1333 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:$\mathbb{THPT Chuyên Phan Bội Châu}$ $\\$

Đã gửi 12-05-2014 - 20:22

 

 

3.Cho $0\leq a,b,c\leq 2.CMR:2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leq 4$

 

Từ gt suy ra: $(2-y)(2-x)(2-z) \geq 0 \Leftrightarrow 8 \geq 4x+4y+4z+xyz-2xy-2yz-2zx \geq 4(x+y+z)-2(xy+yz+zx)$ (do $xyz \geq 0$)

Suy ra $8 \geq 4(x+y+z)-2(xy+yz+zx) \Leftrightarrow 4 \geq 2(x+y+z)-(xy+yz+zx)$

Ta có đpcm


:nav: Học gõ công thức toán học tại đây

:nav: Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây

:nav: Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây

--------------------------------------------------------------

 


#3 BysLyl

BysLyl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 12-05-2014 - 20:42

1. Cho a,b > 0 thỏa mãn: $ab+1\leq b$ .Tìm Min P=$a+\frac{1}{a^{2}}+b^{2}+\frac{1}{b}$

 

2.Cho a,b,c > 0; a+b+c=3. CMR: $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

3.Cho $0\leq a,b,c\leq 2.CMR:2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leq 4$

 

4.Cho : $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn: x+y+z=1.CMR: $xy+yz+zx-xyz\leq \frac{7}{27}$

 

5.Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn x+y+z=3.CMR: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 4$

 

6.Cho: $0\leq a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n}\leq 1$. CMR: $\sum_{i=1}^{n}a_{i}\leq 1+\sum_{1\leq i\leq j\leq n}^{}a_{i}a_{j}$

chỗ này là $\frac{7}{27}  hay  \frac{8}{27}$  ??


_Be your self- Live your life_  :rolleyes: 


#4 hoanganhhaha

hoanganhhaha

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội-Amsterdam
  • Sở thích:máy bay máy bò

Đã gửi 12-05-2014 - 21:09

áp dụng bdt schur ta có$xyz \geq (x+y-z)(y+z-x)(y+z-x)=(3-2x)(3-2y)(3-2z)$
khai triển cái này ra và dùng giả thiết  $x+y+z=3$ ta có $9xyz\geq 12(xy+yz+zx)-27$
nên điều cần chứng minh là $9(x^2+y^2+z^2+xyz)\geq 6(x^2+y^2+z^2)+12(xy+yz+zx)+3(x^2+y^2+z^2)-27\geq 6(x+y+z)^2+9-27=54+9-27=36$ hay là P \geq 4



#5 Johan Liebert

Johan Liebert

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11T THPT chuyên Lam Sơn
  • Sở thích:Đọc truyện

Đã gửi 12-05-2014 - 21:21

5.Ta chứng minh bất đẳng thức phụ khá quen thuộc

$2abc+a^2+b^2+c^2+1 \geq 2ab+2bc+2ac$

Chứng minh:

Trong 3 số $a-1;b-1;c-1$ luôn có 2 số có tích lớn hơn hoặc bằng 0 

Không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là $a-1;b-1$

Ta có : $2abc+a^2+b^2+c^2+1 \geq 2ab+2bc+2ca \leftrightarrow (a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1) \geq 0$(đúng)

Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh $2abc+a^2+b^2+c^2+1 \geq 2ab+2bc+2ac$

Áp dụng vào bài toán

$x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4 \leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2+2xyz \geq 8$

$\leftrightarrow x^2+y^2+z^2+(x^2+y^2+z^2+2xyz+1) \geq 9$

Bất đẳng thức trên đúng vì $x^2+y^2+z^2+(x^2+y^2+z^2+2xyz+1) \geq x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx =9$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=z=1$

 



#6 Tran Nho Duc

Tran Nho Duc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 440 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bà Rịa - Vũng Tàu
  • Sở thích:Đọc sách , lướt web...
    Mong sớm thoát kiếp $FA$

Đã gửi 12-05-2014 - 21:46

 

 

2.Cho a,b,c > 0; a+b+c=3. CMR: $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 


20114231121042626.gif

"  Even if there was no Gravity on Earth, I'd still fall for you. "

                                                                                                                  Nunmul       

                                                                          

 

#7 bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản trị
  • 1536 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Dốt nhất khoa Toán
  • Sở thích:Unstable homotopy theory

Đã gửi 12-05-2014 - 21:47

Bài $6$ . Giả sử khẳng định đúng với $n=k$ 

Ta có $\sum a_{i} \leq 1 + \sum a_{i}a_{j}$ 

Ta cm $\sum a_{i} + a_{k+1} \leq 1 + \sum a_{i}a_{j} + a_{k+1}(\sum a_{i})$

Nếu $\sum a_{i}$ chạy từ $1$ đến $k+1$ bé hơn $1$ bdt hiển nhiên đúng 

Nếu $\sum a_{i} \geq 1$ cũng đúng theo gt quy nạp và cái đó . 

Bài $4$ Cho $\sum x=1$  và $x,y,z>0$ CMR : $\sum xy - xyz \leq \frac{8}{27}$ mới đúng .

Ta có $(x+y+z)(xy+xz+yz)-xyz = (x+y)(y+z)(x+z) \leq (\frac{x+y+y+z+x+z}{3})^{3} = \frac{8}{27}$

Như đề của bác là giả sử $x=0$ thì max vẫn là $\frac{8}{27}$

Bài $5$ , Bất đẳng thức tương đương $\sum x^{2} - \sum xy \geq 4 - xyz - \sum xy$

Hay $(\sum x)(\sum x^{2}-\sum xy)\geq 12 - 3xyz - 3\sum xy <=> \sum x^{3} - 3xyz \geq 12 - 3xyz - 3\sum xy<=> \sum x^{3} + (\sum x)(\sum xy ) \geq \frac{4(\sum a)^{3}}{9} <=> 9\sum x^{3} + 9\sum xy(x+y) + 27xyz \geq 4\sum x^{3} + 12\prod (x+y) <=> 5\sum x^{3} + 9\sum xy(x+y)+27xyz \geq 12\sum xy(x+y) + 24xyz <=> 5\sum x^{3} + 3xyz \geq  3\sum xy(x+y)$

Theo bdt Schur $5\sum x^{3} + 3xyz \geq 5 ( \sum xy(x+y) - 3xyz) + 3xyz$ 

Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum xy(x+y) \geq 6xyz$ hiển nhiên đúng theo $AM-GM$ cho 6 số .


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-05-2014 - 22:37

Declare to yourself that, from now on, your life is dedicated to one and only one woman, the greatest mistress of your life, the tenderest woman you have ever encountered, Mathematica.


#8 Tran Nho Duc

Tran Nho Duc

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 440 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bà Rịa - Vũng Tàu
  • Sở thích:Đọc sách , lướt web...
    Mong sớm thoát kiếp $FA$

Đã gửi 12-05-2014 - 21:48

$\sum \frac{1}{a^{2}}+a^{2}\geq 2\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}\geq 2-(a^{2})=\sum a^{2}$


20114231121042626.gif

"  Even if there was no Gravity on Earth, I'd still fall for you. "

                                                                                                                  Nunmul       

                                                                          

 

#9 stronger steps 99

stronger steps 99

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 51 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán học,các loại nhạc:US-UK,K-POP,J-POP,...

Đã gửi 12-05-2014 - 21:49

 Bài 2.$a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$ biến đổi tương đương ta cần cm:$2(ab+ac+bc)+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 9 (1)$

$\left ( ab+bc+ca \right )^{2}\geq 3abc(a+b+c)=9abc\rightarrow ab+bc+ca\geq 3\sqrt{abc}$

(1)$\leftrightarrow 3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+\frac{3}{abc} \geq 9$ (điều này luôn đúng )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi stronger steps 99: 12-05-2014 - 21:53

  :like Do not worry about your difficulties in Mathematics. I can assure you mine are still greater. :like

                                               :nav: Ghé Thăm My Facebook tại đây.  :nav:

 


#10 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 13-05-2014 - 06:30

2.Cho a,b,c > 0; a+b+c=3. CMR: $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 13-05-2014 - 12:11

"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#11 nevermore1104

nevermore1104

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Tiền Phong

Đã gửi 13-05-2014 - 21:00

chỗ này là $\frac{7}{27}  hay  \frac{8}{27}$  ??

Cảm ơn nhé






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh