Chủ đề này có 10 trả lời

[nevermore1104]

1. Cho a,b > 0 thỏa mãn: $ab+1\leq b$ .Tìm Min P=$a+\frac{1}{a^{2}}+b^{2}+\frac{1}{b}$

 

2.Cho a,b,c > 0; a+b+c=3. CMR: $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

3.Cho $0\leq a,b,c\leq 2.CMR:2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leq 4$

 

4.Cho : $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn: x+y+z=1.CMR: $xy+yz+zx-xyz\leq \frac{8}{27}$

 

5.Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn x+y+z=3.CMR: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 4$

 

6.Cho: $0\leq a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n}\leq 1$. CMR: $\sum_{i=1}^{n}a_{i}\leq 1+\sum_{1\leq i\leq j\leq n}^{}a_{i}a_{j}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nevermore1104: 13-05-2014 - 21:01

[Yagami Raito]

 

 

3.Cho $0\leq a,b,c\leq 2.CMR:2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leq 4$

 

Từ gt suy ra: $(2-y)(2-x)(2-z) \geq 0 \Leftrightarrow 8 \geq 4x+4y+4z+xyz-2xy-2yz-2zx \geq 4(x+y+z)-2(xy+yz+zx)$ (do $xyz \geq 0$)

Suy ra $8 \geq 4(x+y+z)-2(xy+yz+zx) \Leftrightarrow 4 \geq 2(x+y+z)-(xy+yz+zx)$

Ta có đpcm

[BysLyl]

1. Cho a,b > 0 thỏa mãn: $ab+1\leq b$ .Tìm Min P=$a+\frac{1}{a^{2}}+b^{2}+\frac{1}{b}$

 

2.Cho a,b,c > 0; a+b+c=3. CMR: $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

3.Cho $0\leq a,b,c\leq 2.CMR:2(x+y+z)-(xy+yz+zx)\leq 4$

 

4.Cho : $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn: x+y+z=1.CMR: $xy+yz+zx-xyz\leq \frac{7}{27}$

 

5.Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn x+y+z=3.CMR: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xyz\geq 4$

 

6.Cho: $0\leq a_{1},a_{2},a_{3},...a_{n}\leq 1$. CMR: $\sum_{i=1}^{n}a_{i}\leq 1+\sum_{1\leq i\leq j\leq n}^{}a_{i}a_{j}$

chỗ này là $\frac{7}{27}  hay  \frac{8}{27}$  ??

[hoanganhhaha]

áp dụng bdt schur ta có$xyz \geq (x+y-z)(y+z-x)(y+z-x)=(3-2x)(3-2y)(3-2z)$
khai triển cái này ra và dùng giả thiết  $x+y+z=3$ ta có $9xyz\geq 12(xy+yz+zx)-27$
nên điều cần chứng minh là $9(x^2+y^2+z^2+xyz)\geq 6(x^2+y^2+z^2)+12(xy+yz+zx)+3(x^2+y^2+z^2)-27\geq 6(x+y+z)^2+9-27=54+9-27=36$ hay là P \geq 4

[Johan Liebert]

5.Ta chứng minh bất đẳng thức phụ khá quen thuộc

$2abc+a^2+b^2+c^2+1 \geq 2ab+2bc+2ac$

Chứng minh:

Trong 3 số $a-1;b-1;c-1$ luôn có 2 số có tích lớn hơn hoặc bằng 0 

Không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là $a-1;b-1$

Ta có : $2abc+a^2+b^2+c^2+1 \geq 2ab+2bc+2ca \leftrightarrow (a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1) \geq 0$(đúng)

Vậy ta có bất đẳng thức cần chứng minh $2abc+a^2+b^2+c^2+1 \geq 2ab+2bc+2ac$

Áp dụng vào bài toán

$x^2+y^2+z^2+xyz \geq 4 \leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2+2xyz \geq 8$

$\leftrightarrow x^2+y^2+z^2+(x^2+y^2+z^2+2xyz+1) \geq 9$

Bất đẳng thức trên đúng vì $x^2+y^2+z^2+(x^2+y^2+z^2+2xyz+1) \geq x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx =9$

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=z=1$

 

[Tran Nho Duc]

 

 

2.Cho a,b,c > 0; a+b+c=3. CMR: $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

[bangbang1412]

Bài $6$ . Giả sử khẳng định đúng với $n=k$ 

Ta có $\sum a_{i} \leq 1 + \sum a_{i}a_{j}$ 

Ta cm $\sum a_{i} + a_{k+1} \leq 1 + \sum a_{i}a_{j} + a_{k+1}(\sum a_{i})$

Nếu $\sum a_{i}$ chạy từ $1$ đến $k+1$ bé hơn $1$ bdt hiển nhiên đúng 

Nếu $\sum a_{i} \geq 1$ cũng đúng theo gt quy nạp và cái đó . 

Bài $4$ Cho $\sum x=1$  và $x,y,z>0$ CMR : $\sum xy - xyz \leq \frac{8}{27}$ mới đúng .

Ta có $(x+y+z)(xy+xz+yz)-xyz = (x+y)(y+z)(x+z) \leq (\frac{x+y+y+z+x+z}{3})^{3} = \frac{8}{27}$

Như đề của bác là giả sử $x=0$ thì max vẫn là $\frac{8}{27}$

Bài $5$ , Bất đẳng thức tương đương $\sum x^{2} - \sum xy \geq 4 - xyz - \sum xy$

Hay $(\sum x)(\sum x^{2}-\sum xy)\geq 12 - 3xyz - 3\sum xy <=> \sum x^{3} - 3xyz \geq 12 - 3xyz - 3\sum xy<=> \sum x^{3} + (\sum x)(\sum xy ) \geq \frac{4(\sum a)^{3}}{9} <=> 9\sum x^{3} + 9\sum xy(x+y) + 27xyz \geq 4\sum x^{3} + 12\prod (x+y) <=> 5\sum x^{3} + 9\sum xy(x+y)+27xyz \geq 12\sum xy(x+y) + 24xyz <=> 5\sum x^{3} + 3xyz \geq  3\sum xy(x+y)$

Theo bdt Schur $5\sum x^{3} + 3xyz \geq 5 ( \sum xy(x+y) - 3xyz) + 3xyz$ 

Nên ta chỉ cần chứng minh $\sum xy(x+y) \geq 6xyz$ hiển nhiên đúng theo $AM-GM$ cho 6 số .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-05-2014 - 22:37

[Tran Nho Duc]

$\sum \frac{1}{a^{2}}+a^{2}\geq 2\Rightarrow \sum \frac{1}{a^{2}}\geq 2-(a^{2})=\sum a^{2}$

[stronger steps 99]

 Bài 2.$a^{2}+b^{2}+c^{2}=9-2(ab+bc+ca)$ biến đổi tương đương ta cần cm:$2(ab+ac+bc)+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq 9 (1)$

$\left ( ab+bc+ca \right )^{2}\geq 3abc(a+b+c)=9abc\rightarrow ab+bc+ca\geq 3\sqrt{abc}$

(1)$\leftrightarrow 3\sqrt{abc}+3\sqrt{abc}+\frac{3}{abc} \geq 9$ (điều này luôn đúng )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi stronger steps 99: 12-05-2014 - 21:53

[nguyenhongsonk612]

2.Cho a,b,c > 0; a+b+c=3. CMR: $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 13-05-2014 - 12:11

[nevermore1104]

chỗ này là $\frac{7}{27}  hay  \frac{8}{27}$  ??

Cảm ơn nhé