Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa $x^2y^2z^2+\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\ge x+y+z+xy+yz+zx+3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{x^3}{\left(y+2z\right)\left(2z+3x\right)}+\dfrac{y^3}{\left(z+2x\right)\left(2x+3y\right)}+\dfrac{z^3}{\left(x+2y\right)\left(2y+3z\right)}$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P=\sum\dfrac{x^3}{\left(y+2z\right)\left(2z+3x\right)}$
#1
Đã gửi 14-05-2014 - 01:19
#2
Đã gửi 14-05-2014 - 09:11
Cho $x,\,y,\,z>0$ thỏa $x^2y^2z^2+\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\ge x+y+z+xy+yz+zx+3.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\dfrac{x^3}{\left(y+2z\right)\left(2z+3x\right)}+\dfrac{y^3}{\left(z+2x\right)\left(2x+3y\right)}+\dfrac{z^3}{\left(x+2y\right)\left(2y+3z\right)}$$
Thu gọn GT ta có $(xyz)^{2}+xyz-2\geq 0\Leftrightarrow xyz\geq 1.$
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số có: $\frac{x^{3}}{(y+2z)(2z+3x)}+\frac{2z+3x}{75}+\frac{y+2z}{45}\geq 3.\frac{x}{15}=\frac{x}{5}$
Tương tự với 2 số còn lại của VT rồi cộng 3 BĐT theo vế cóỞ đây chỉ viết dạng bđt đã thu gọn nhé)
$VT\geq \frac{x+y+z}{15}\geq \frac{3\sqrt[3]{xyz}}{15}\geq \frac{1}{15}.\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dam Uoc Mo: 14-05-2014 - 09:12
- Alexman113, canhhoang30011999, Hoang Tung 126 và 1 người khác yêu thích
Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh