Đến nội dung

Hình ảnh

Min $D=\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 13 trả lời

#1
yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết

1) Cho $x+y\geq 1;x>0$ Tìm Min $D=\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2}$

2) Cho a,b>0 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$ Tìm Max $Q=\frac{1}{a^{4}+b^{2}+2ab^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{4}+2a^{2}b}$

3) Cho x,y>0 $x\geq 2y$ Tìm Min $M=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$

4) Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$ Chứng minh: $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{-3}{4}$


:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif


#2
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

 

2) Cho a,b>0 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$ Tìm Max $Q=\frac{1}{a^{4}+b^{2}+2ab^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{4}+2a^{2}b}$

 

2) Theo BĐT $AM-GM$ ta có

 

$Q\leqslant \frac{1}{ab(a+b)}$ $(1)$

 

Từ giả thiết $2=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} ab\geqslant 1 & \\ a+b\geqslant 2 & \end{matrix}\right.$

 

Kết hợp với $(1)$ suy ra $Max(Q)=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 14-05-2014 - 20:25


#3
Dam Uoc Mo

Dam Uoc Mo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

3) Cho x,y>0 $x\geq 2y$ Tìm Min $M=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$
$VT=\frac{x^{2}+4y^{2}-3y^{2}}{xy}\geq \frac{4xy-\frac{3}{2}y.x}{xy}=\frac{5}{2}$.Dấu "=" khi x=2y. :)


Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.

 

 

http://news.go.vn/di...m-nguoi-doi.htm


#4
Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết

1) Cho $x+y\geq 1;x>0$ Tìm Min $D=\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2}$

2) Cho a,b>0 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$ Tìm Max $Q=\frac{1}{a^{4}+b^{2}+2ab^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{4}+2a^{2}b}$

3) Cho x,y>0 $x\geq 2y$ Tìm Min $M=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$

4) Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$ Chứng minh: $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{-3}{4}$

4)

$(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3$

$=a^3-3a^2+3a+b^3-3b^2+3b+c^3-3c^2+3c-3$
$=a(a^2-3a+\frac{9}{4})+b(b^2-3b+\frac{9}{4})+c(c^2-3c+\frac{9}{4})+\frac{3}{4}(a+b+c)-3$
$=a(a-\frac{3}{2})^2+b(b-\frac{3}{2})^2+c(c-\frac{3}{2})^2-\frac{3}{4}$$\geq \frac{-3}{4}$

 

Dấu = có khi: $2$ số bằng $\frac{3}{2}$ và một số bằng $0$
 



#5
hoangmanhquan

hoangmanhquan

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 641 Bài viết

3) Cho x,y>0 $x\geq 2y$ Tìm Min $M=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$

Ta có:

$M=\frac{x}{y}+\frac{4y}{x}-\frac{3y}{x}$

$\geq 4-\frac{3y}{2y}$

$=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra $<=>x=2y$ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 14-05-2014 - 20:52

:icon1: Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình :icon1: 

 

 


#6
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

1) Cho $x+y\geq 1;x>0$ Tìm Min $D=\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2}$

2) Cho a,b>0 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$ Tìm Max $Q=\frac{1}{a^{4}+b^{2}+2ab^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{4}+2a^{2}b}$

3) Cho x,y>0 $x\geq 2y$ Tìm Min $M=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$

4) Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$ Chứng minh: $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{-3}{4}$

theo mình y>0 

khi đó

$D= \frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x+\frac{y}{4x}+y^{2}\geq \frac{3}{2}x+\frac{3}{2}y\geq \frac{3}{2}$ 



#7
Nguyen Tang Sy

Nguyen Tang Sy

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

1) Cho $x+y\geq 1;x>0$ Tìm Min $D=\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2}$

Em chém bừa vậy  :icon6: :ukliam2: 

$D \geq \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + y^{2} $

xét $x < 1 \rightarrow y > 0 $

do đó: $ y \geq 1- x \rightarrow y^{2} \geq (1-x)^{2}$ 

$\rightarrow  D \geq \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + (1-x)^{2} $

.....

$ => min D = 1,5$

 

xét $x >= 1$ thì ta có: $y^{2} \geq 0$ . do đó:

 $D \geq  \rightarrow \frac{8x^{2} + 1 - x}{4x} $

cm đc lúc này $min D = 2$ đạt tại $ x = 1$

 

suy ra $min$ $D = 1,5$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Tang Sy: 15-05-2014 - 12:17

  :lol: :lol: :lol:     :rolleyes: :rolleyes: :rolleyes:    :lol: :lol: :lol: 

                                                                                                                                                                               

Thành công không phải là chìa khóa mở cánh cửa hạnh phúc.

Hạnh phúc là chìa khóa dẫn tới cánh cửa thành công.

Nếu bạn yêu điều bạn đang làm, bạn sẽ thành công


#8
Dam Uoc Mo

Dam Uoc Mo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

Em chém bừa vậy  :icon6: :ukliam2: 

$D \geq \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + y^{2} $

$\Leftrightarrow  D \geq x^{2} +  \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + (y-x)(y+x) $

ta có:

 $y - x \geq 1-2x $ $\rightarrow (y-x)(y+x) \geq 1 - 2x $

do đó:

$D \geq x^{2} +  \frac{8x^{2} + 1 - x }{4x} + 1 - 2x $

 

tới đấy xét biến thiên của hàm số là ra hoặc dùng AM - GM cho  3 số $x^{2} ; \frac{1}{8x} và \frac{1}{8x} $ 

Chỗ nhân có vấn đề hay sao ấy?Đây nhé:
$(y-x)\geq 1-2x\Rightarrow (y-x)(y+x)\geq (1-2x)(y+x);(y+x)\geq 1\Rightarrow (1-2x)(y+x)\geq 1-2x(????????)$  Biết 1-2x âm dương ra sao?


Batman: Anh hùng có thể là bất kì ai. Thậm chí là một người đàn ông với một hành động đơn giản như đặt lên vai một cậu bé chiếc áo khoác một cách an toàn, để cho cậu ấy biết rằng thế giới vẫn chưa đi tới hồi kết. – The Dark Knight Rises.

 

 

http://news.go.vn/di...m-nguoi-doi.htm


#9
Nguyen Tang Sy

Nguyen Tang Sy

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 56 Bài viết

Chỗ nhân có vấn đề hay sao ấy?Đây nhé:
$(y-x)\geq 1-2x\Rightarrow (y-x)(y+x)\geq (1-2x)(y+x);(y+x)\geq 1\Rightarrow (1-2x)(y+x)\geq 1-2x(????????)$  Biết 1-2x âm dương ra sao?

ukm, t quên. phải xét $x < 1$ và $x >= 1$. sửa rùi đó. xem thử đc hok 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Tang Sy: 15-05-2014 - 12:15

  :lol: :lol: :lol:     :rolleyes: :rolleyes: :rolleyes:    :lol: :lol: :lol: 

                                                                                                                                                                               

Thành công không phải là chìa khóa mở cánh cửa hạnh phúc.

Hạnh phúc là chìa khóa dẫn tới cánh cửa thành công.

Nếu bạn yêu điều bạn đang làm, bạn sẽ thành công


#10
nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1451 Bài viết

3) Cho x,y>0 $x\geq 2y$ Tìm Min $M=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$

Giải:

Vì $y>0$ nên từ gt $\Rightarrow \frac{x}{y}\geq 2$

$\Rightarrow M=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}= t+\frac{1}{t}= \frac{1}{t}+\frac{t}{4}+\frac{3t}{4}\geq 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

Vậy min $M = \frac{5}{2}$. Dấu "=" khi và chỉ khi $t=2$$\Leftrightarrow x=2y$


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#11
tanconggioihan

tanconggioihan

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết

4)

$(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3$

$=a^3-3a^2+3a+b^3-3b^2+3b+c^3-3c^2+3c-3$
$=a(a^2-3a+\frac{9}{4})+b(b^2-3b+\frac{9}{4})+c(c^2-3c+\frac{9}{4})+\frac{3}{4}(a+b+c)-3$
$=a(a-\frac{3}{2})^2+b(b-\frac{3}{2})^2+c(c-\frac{3}{2})^2-\frac{3}{4}$$\geq \frac{-3}{4}$

 

Dấu = có khi: $2$ số bằng $\frac{3}{2}$ và một số bằng $0$
 

câu này nè có (a-1)+(b-1)+(c-1)=0 thì suy ra được $(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=3(a-1)(b-1)(c-1)$ rồi đánh giá được k nhỉ 



#12
chimpui cat

chimpui cat

    Lính mới

  • Thành viên
  • 9 Bài viết

$\dpi{120}                      \large x+y\geqslant 1\Rightarrow y\geqslant 1-x\rightarrow D=\frac{8x^2+y}{4x}+b^2\geqslant \frac{8x^2+y}{4x}+(1-x)^2 =\frac{8x^2+1-x}{4x}+1-2x+x^2=2x+\frac{1}{4x}-\frac{1}{4}+1-2x+x^2=x^2+\frac{x}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4x^3+1+3x}{4x}=\frac{4x^3-4x^2+x+4x^2-4x+1+6x}{4x}=\frac{x(2x-1)^2+(2x-1)^2+6x}{4x}=\frac{(2x-1)^2.(x+1)}{4x}+\frac{3}{2}                              do x>0 \rightarrow (2x-1)^2\geqslant 0 \Leftrightarrow \frac{(2x-1)^2.(x+1)}{4x}+\frac{3}{2}\geqslant \frac{3}{2} \rightarrow MinD=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chimpui cat: 15-05-2014 - 20:42

:wub:  :wub:  :wub: $\large \sum \frac{Chimpui}{Cat}\approx 18-10-1999\bigstar \star$ :wub:  :wub:  :wub:

 

 

 

 


#13
yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết

câu này nè có (a-1)+(b-1)+(c-1)=0 thì suy ra được $(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=3(a-1)(b-1)(c-1)$ rồi đánh giá được k nhỉ 

Cách đó mình thử rồi nhưng ko được


:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif


#14
gatoanhoc1998

gatoanhoc1998

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết

1) Cho $x+y\geq 1;x>0$ Tìm Min $D=\frac{8x^{2}+y}{4x}+y^{2}$

2) Cho a,b>0 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$ Tìm Max $Q=\frac{1}{a^{4}+b^{2}+2ab^{2}}+\frac{1}{a^{2}+b^{4}+2a^{2}b}$

3) Cho x,y>0 $x\geq 2y$ Tìm Min $M=\frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$

4) Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$ Chứng minh: $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{-3}{4}$

câu 1:

$D=2x+\frac{y}{4x}+y^{2}\geq 2x+\frac{y}{4x}+y-\frac{1}{4}$ (do bdt Cauchy)

$\Rightarrow D\geq \frac{y}{4x}+x+\frac{3}{4}\geq \frac{1-x}{4x}+x+\frac{3}{4}=\frac{1}{4x}+x+\frac{1}{2}$

Xét hàm số; 

   f(x)=$\frac{1}{4x}+x+\frac{1}{2}$

 có f'=$\frac{-1}{2x}+1$

$\Rightarrow f'=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$

Lập bảng biến thiên có:

          $Minf=f(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$

vậy MinD=3/2 khi a=b=1/2






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh