Chủ đề này có 1 trả lời

[homeless]

cho đa thức $P(x)=ax^2+bx+c$ sao cho với mọi giá trị nguyên của x thì P(x) đều là một số chính phương. ($a \neq 0$)

chứng minh rằng a,b,c là các số nguyên và b là số chẵn

[Oral1020]

Với $x=1;0;-1$ ta được:

$\left\{\begin{matrix}
a+b+c=m^2(1)\\c=l^2 (2)
\\ a-b+c=k^2 (3)
\end{matrix}\right.$

Từ hệ đó ta dễ thấy:

$c \in \mathbb{Z}$ và

Trừ vế theo vế phương trình (1) và (3) ta được:

$2b=m^2-k^2$

Do $VT$ chia hết cho 2 nên $m^2-k^2$ cũng phải chia hết cho hai

Mặt khác ta lại có $m^2-k^2=(m-k)(m+k)$,do $m+k$ và $m-k$ là hai số cùng chẵn nên

$\Rightarrow m^2-k^2$ chia hết cho 4 hay 2b chia hết cho 4 $\Rightarrow b$ chia hết cho 2 và $b$ cũng nguyên

$\Rightarrow a$ cũng nguyện

Tóm lại ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 14-05-2014 - 21:49