cho đa thức $P(x)=ax^2+bx+c$ sao cho với mọi giá trị nguyên của x thì P(x) đều là một số chính phương. ($a \neq 0$)
chứng minh rằng a,b,c là các số nguyên và b là số chẵn
cho đa thức $P(x)=ax^2+bx+c$ sao cho với mọi giá trị nguyên của x thì P(x) đều là một số chính phương. ($a \neq 0$)
chứng minh rằng a,b,c là các số nguyên và b là số chẵn
CARTHAGE
HANNIBAL
Với $x=1;0;-1$ ta được:
$\left\{\begin{matrix}
a+b+c=m^2(1)\\c=l^2 (2)
\\ a-b+c=k^2 (3)
\end{matrix}\right.$
Từ hệ đó ta dễ thấy:
$c \in \mathbb{Z}$ và
Trừ vế theo vế phương trình (1) và (3) ta được:
$2b=m^2-k^2$
Do $VT$ chia hết cho 2 nên $m^2-k^2$ cũng phải chia hết cho hai
Mặt khác ta lại có $m^2-k^2=(m-k)(m+k)$,do $m+k$ và $m-k$ là hai số cùng chẵn nên
$\Rightarrow m^2-k^2$ chia hết cho 4 hay 2b chia hết cho 4 $\Rightarrow b$ chia hết cho 2 và $b$ cũng nguyên
$\Rightarrow a$ cũng nguyện
Tóm lại ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 14-05-2014 - 21:49
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh