Cho ba số $a,\,b,\,c>0$ thỏa mãn $3\left(a^4+b^4+c^4\right)-7\left(a^2+b^2+c^2\right)+12=0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$P = \dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}$$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}$ với $a,\,b,\,c>0$
#1
Đã gửi 14-05-2014 - 21:25
- canhhoang30011999, hoangmanhquan, Viet Hoang 99 và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 14-05-2014 - 21:39
- canhhoang30011999 và hoangmanhquan thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#3
Đã gửi 14-05-2014 - 21:42
Từ GT ta có:$0=3\sum a^4-7\sum a^2+12\geq \sum a^2-7\sum a^2+12=-6\sum a^2+12\Leftrightarrow \sum a^2\geq 2$Làm được tiếp không nhỉ?
hình như phải là $3\sum a^{4}-7\sum a^{2}+12\geq (\sum a^{2})^{2}-7\sum a^{2}0+12$
$\Rightarrow 3\leq \sum a^{2}\leq 4$
chứ
- hoangmanhquan, Viet Hoang 99 và songchiviuocmo2014 thích
#4
Đã gửi 14-05-2014 - 21:44
Cho ba số $a,\,b,\,c>0$ thỏa mãn $3\left(a^4+b^4+c^4\right)-7\left(a^2+b^2+c^2\right)+12=0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$P = \dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}$$
Từ GT suy ra: $(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-7(a^{2}+b^{2}+c^{2})+12\leqslant 0\rightarrow 3\leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}\leqslant 4$
Ta có: $P=\sum \frac{a^{^{4}}}{a^{2}b+2a^{2}c}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{2}b+2\sum ab^{2}}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\frac{(a+b+c)\sum a^{2}}{3}+2\frac{(a+b+c)\sum a^{2}}{3}}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})\sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}=\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}}\geqslant 1$
- DarkBlood, canhhoang30011999, hoangmanhquan và 1 người khác yêu thích
#5
Đã gửi 14-05-2014 - 21:45
hình như phải là $3\sum a^{4}-7\sum a^{2}+12\geq (\sum a^{2})^{2}-7\sum a^{2}0+12$
$\Rightarrow 3\leq \sum a^{2}\leq 4$
chứ
à nhầm, thế thì làm được rồi
BCS dạng cộng mẫu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 18-05-2014 - 07:59
- canhhoang30011999 yêu thích
1- Tính toán http://www.wolframalpha.com
2- Ghé thăm tôi tại https://www.facebook...ang.truong.1999
3- Blog của tôi: http://truongviethoang99.blogspot.com/
4- Nội quy của Diễn đàn Toán học - Cách đặt tiêu đề cho bài viết. - Cách gõ $\LaTeX$ trên diễn đàn - [Topic]Hỏi đáp về việc Vẽ Hình!
#6
Đã gửi 14-05-2014 - 21:47
Cho ba số $a,\,b,\,c>0$ thỏa mãn $3\left(a^4+b^4+c^4\right)-7\left(a^2+b^2+c^2\right)+12=0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$$P = \dfrac{a^2}{b+2c}+\dfrac{b^2}{c+2a}+\dfrac{c^2}{a+2b}$$
Có đúng không nhỉ???
Từ GT $a^2+b^2+c^2\geqslant 3$
Có $P=\sum \frac{a^4}{ba^2+2a^2c}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+2ab^2+2bc^2+2ca^2}$
Bằng $AM-GM$ ta chứng minh được
$a^2b+b^2c+c^2a+2ab^2+2bc^2+2ca^2\leqslant (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$
$\Rightarrow P\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geqslant 1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 14-05-2014 - 22:01
- DarkBlood, canhhoang30011999, hoangmanhquan và 2 người khác yêu thích
#7
Đã gửi 18-05-2014 - 00:21
Có đúng không nhỉ???
Từ GT $a^2+b^2+c^2\geqslant 3$
Có $P=\sum \frac{a^4}{ba^2+2a^2c}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b+b^2c+c^2a+2ab^2+2bc^2+2ca^2}$
Bằng $AM-GM$ ta chứng minh được
$a^2b+b^2c+c^2a+2ab^2+2bc^2+2ca^2\leqslant (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$
$\Rightarrow P\geqslant \frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\geqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geqslant 1$
Cái bước cuối là như thế nào vậy lahan, câu giải thích giúp tớ nhé, chưa hiểu
- Dam Uoc Mo và lahantaithe99 thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#8
Đã gửi 18-05-2014 - 00:47
thì do $(x+y+z)^2\leqslant 3(x^2+y^2+z^2)$ suy ra $x+y+z\leqslant\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$Cái bước cuối là như thế nào vậy lahan, câu giải thích giúp tớ nhé, chưa hiểu
- Dam Uoc Mo yêu thích
#9
Đã gửi 18-05-2014 - 00:51
thì do $(x+y+z)^2\leqslant 3(x^2+y^2+z^2)$ suy ra $x+y+z\leqslant\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$
OK, Tks nhé!
P/s: Mà sao thức đêm thế lahan
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 18-05-2014 - 00:51
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh