Chủ đề này có 1 trả lời

[Tran Nho Duc]

$x+1+\sqrt{x^{2}-4x+1}\geq 3\sqrt{x}$

[diepviennhi]

$x+1+\sqrt{x^{2}-4x+1}\geq 3\sqrt{x}$

Điều kiện $x\in[0,2-\sqrt{3}]\cup [2+\sqrt{3};+\infty )$

Xét $x=0$ là nghiêm của bài toán

Xét $x\neq 0$. ta chia cả hai vế của Bất phương trình cho $\sqrt{x}$ ta được

$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x+\frac{1}{x}-4}\geq3$, Đặt $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=t\geq 2\rightarrow x+\frac{1}{x}=t^{2}-2$

Bất phương trình có dạng $ t+ \sqrt{t^{2}-6} \geq3$

Trường hợp 1: ta có $\left\{\begin{matrix} t^{2}-6\geq0 & \\ 3-t\leq0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow t\geq3$

Trường hợp 2: ta có $\left\{\begin{matrix} t^{2}-6\geq t^{2}-6t+9 & \\ 3-t \geq0& \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{5}{2} \leq t \leq 3$

Tóm lại ta có $ t \geq \frac{5}{2}$

Dẫn đến $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq \frac{5}{2}\Leftrightarrow \sqrt{x} \in (-\infty ;\frac{1}{2}]\cup [2,+\infty )\Leftrightarrow x \in (0;\frac{1}{4}]\cup [4,+\infty )$

Vậy Bất phương trình có tập nghiệm là $S=[0,\frac{1}{4}] \cup[4;+\infty )$