Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Tang Sy]

cho $a,b,c,d \in  \mathbb{R}$ thỏa:

 

$a^{2}+b^{2} = 1$

 $c + d = 3$

 

Tìm $Max$ của $ac +bd + cd$  

[canhhoang30011999]

 

cho $a,b,c,d \in  \mathbb{R}$ thỏa:

 

$a^{2}+b^{2} = 1$

 $c + d = 3$

 

Tìm $Max$ của $ac +bd + cd$  

 

ta có $ac= \frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{3}{2}a\frac{1}{\sqrt{2}}c$

$\leq \frac{\sqrt{2}}{3}(\frac{9}{4}a^{2}+\frac{1}{2}c^{2})$

tương tự ta có

ac+bd+cd$\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}(a^{2}+b^{2})+$$(\frac{\sqrt{2}}{6}c^{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}cd+\frac{\sqrt{2}}{6}d^{2})+(1-\frac{\sqrt{2}}{3})cd$

$\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{2}+(1-2\sqrt{3})\frac{9}{4}$

[Nguyen Tang Sy]

ta có $ac= \frac{2\sqrt{2}}{3}\frac{3}{2}a\frac{1}{\sqrt{2}}c$

$\leq \frac{\sqrt{2}}{3}(\frac{9}{4}a^{2}+\frac{1}{2}c^{2})$

tương tự ta có

ac+bd+cd$\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}(a^{2}+b^{2})+$$(\frac{\sqrt{2}}{6}c^{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}cd+\frac{\sqrt{2}}{6}d^{2})+(1-\frac{\sqrt{2}}{3})cd$

$\leq \frac{3\sqrt{2}}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{2}+(1-2\sqrt{3})\frac{9}{4}$

hi. mò ra dấu "=" hay thế   !!
đây là cách của t
đặt $y = ac + bd + cd = ac + b(3-c) + c(3-c) = -c^{2} + (a-b+3)c + 3b$

ta có: $ y \leq \frac{-\bigtriangleup }{4a}$ 

hay $y \leq \frac{-(a-b+3)^{2}-12b}{-4}  = \frac{(a+b)^{2}-4ab + 6(a+b)+9}{4} $

ta có: $2ab = (a+b)^{2} - (a^{2}+b^{2}) = (a+b)^{2} - 1$ và $a+b \leq \sqrt {2(a^{2}+b^{2})} = \sqrt {2}$

do đó:

$y \leq  \frac{-(a+b)^{2} + 6(a+b)+11}{4} $

xét $f(t) = \frac{-t^{2} + 6t+11}{4} $ 
từ đó chứng minh đc $y \leq f(t) \leq f(\sqrt {2})= \frac{9+6\sqrt {2}}{4}$  

Cách giải này tự nhiên hơn !!!