Chủ đề này có 2 trả lời

[lovemathforever99]

Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn :

$x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$

 

CMR: $(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ chia hết cho $81$

[Viet Hoang 99]

Cho $x,y,z$ là các số nguyên thỏa mãn :

$x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$

 

CMR: $(x-y)^{3}+(y-z)^{3}+(z-x)^{3}$ chia hết cho $81$

 

 Dễ dàng chứng minh được $M=3(x-y)(y-z)(z-x)=3(x+y+z)$

Để chứng minh $M$ chia hết cho $81,$ ta chứng minh $x+y+z$ chia hết cho $27.$

Thật vậy, xét số dư của ba số $x, y, z$ khi chia cho $3,$ ta có:

 

Trường hợp 1: Không có ba số nào cùng số dư khi chia cho $3$

Khi đó $x-y\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ y-z\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ z-x\ \not{\vdots}\ 3$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \not{\vdots}\ 3$

Mặt khác $x+y+z\equiv 0+1+2\equiv 0\ (\bmod\ 3)$

Do đó trường hợp này không thể xảy ra.

 

Trường hợp 2: Có hai số cùng số dư khi chia cho $3$

Không mất tính tổng quát, giả sử hai số đó là $x$ và $y$

Khi đó $x-y\ \vdots\ 3\ ;\ y-z\ \not{\vdots}\ 3\ ;\ z-x\ \not{\vdots}\ 3$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \vdots\ 3$

Mặt khác $x+y+z\ \not{\vdots}\ 3$ nên trường hợp này không xảy ra.

 

Vì vậy cả ba số có cùng số dư khi chia cho $3$

Khi đó $x-y\ \vdots\ 3\ ;\ y-z\ \vdots\ 3\ ;\ z-x\ \vdots\ 3$

$\Rightarrow (x-y)(y-z)(z-x)\ \vdots\ 27$

Mà $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$ nên $x+y+z\ \vdots\ 27$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

 

P/s: Lúc nãy gửi nhầm Pic

[Nguyen Tang Sy]

  $x+y+z=(x-y)(y-z)(z-x)$   $(1)$  

Nếu 3 số x , y, z có số dư khác nhau khi chia cho 3 thì x -y ,y - z , z -x cùng ko chia hết cho 3

Mà x + y + z chia hết cho 3 . từ (1) suy ra vô lí.

+ Nếu trong 3 sô x,y,z chỉ có 2 số chia cho 3 có cùng số dư thì 1 trong 3 hiệu x -y ,y - z , z -x có 1 hiệu chia hết cho 3

mà x + y + z ko chia hết cho 3 nên từ (1) suy ra vô lí.

vậy x,y,z có cùng số dư khi chia cho 3. do dó  (x -y) (y - z) ( z -x ) chia hết cho 27

đặt a = x -y.  b = y-z .  c = z-x thì a+b+c = 0 và abc chia hết cho 27

suy ra $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ chia hết cho 3.27 = 81

 

P/S: bị chậm mất rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Tang Sy: 16-05-2014 - 20:49