Chủ đề này có 47 trả lời

[Super Fields]

Chào mọi người!!

 

Mình xin đề xuất một số nội quy sau trước khi làm đề đầu tiên:

 

               $\boxed1$ Đề bài phải ghi số thứ tự, trích dẫn lại đề.

               $\boxed2$ Lời giải phải ngắn gọn, chặt chẽ, trình bày tốt và lời giải phải cho đến đáp án cuối cùng.

               $\boxed3$ Những lời giải có chứa nhiều kí hiệu có độ lớn ( như dấu căn, phân số,...) thì phải tách dòng để bài mạch lạc, dễ nhìn.

               $\boxed4$ Những bài cần thiết có hình thì phải vẽ hình ( nếu chưa biết thì học ở đây)

               $\boxed5$Phải đánh $\LaTeX$ khi biểu diễn công thức toán, ngay cả các con số nhỏ như $2$ cũng phải kẹp trong dấu đô la.

               $\boxed6$Biết nêu nhận xét, bình luận, mở rộng hay tổng quát bài toán (nếu bạn có thể).

               $\boxed7$Nêu lí do vì sao bạn giải quyết bài toán theo hướng đó (nếu bạn có thể).

        

Những bài $\LaTeX$ chưa được đẹp, mạch lạc thì sẽ được các ĐHV THCS chỉnh sửa mà không thông báo!

 

Những ai không tuân thủ nội quy $1,2,3,4,5$ thì sẽ bị ẩn bài không báo trước! Mong các bạn chấp hành đầy đủ!

 

Những đề đã giải xong thì tên đề từ màu đen sẽ được chuyển thành màu đỏ.

 

------------------------------------

Còn bây giờ thì hãy thử sức với đề toán đầu

 

Thân ái!!

 

-------------------------------------------------------------------

Spoiler

Học lóm từ Jinbe

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 20-05-2014 - 07:50

[Super Fields]

$\boxed{\text{Đề 1}}$: Năm $1991$ ( Cho mọi thí sinh)

 

Bài $1$:

 

              $1.$ Giải và biện luận phương trình

 

$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}=\sqrt{b}$

 

                  Trong đó $a,b$ là các số dương đã cho.

 

              $2.$ Cho phương trình $x^2+ax+b+1=0$. Trong đó $a,b \in Z$ và $b \neq -1$. Chứng minh rằng:

 

                   Nếu phương trình có hai nghiệm đều là những số nguyên thì $a^2+b^2$ là hợp số.

 

Bài $2$:

 

Cho $a;b;c$ là các số đôi một khác nhau và khác $0$. Giải hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} a^3x+a^2y+az=1\\ b^3x+b^2y+bz=1\\ c^3x+c^2y+cz=1 \end{matrix}\right.$

 

Bài $3$:

 

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $7^x=3.2^y+1$

 

Bài $4$:

 

             $1.$ Cho hình thang $ABCD$ $(AB//CD)$. Gọi giao điểm của $AD$ và $BC$ là $E$, giao điểm của $AC$ và $BD$ là $F$.                        

                   Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ đi qua trung điểm của hai đáy $AB;CD$

             $2.$ Cho $\Delta ABC$. $M;N;P$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $BC;CA;AB$. Nối $AM,BN.CP$. Chứng minh nếu diện tích                    

                  của bốn tam giác gạch chéo bằng nhau thì các diện tích của ba tứ giác không gạch chéo cũng bằng nhau. ( Xem hình )                     

 

 

Bài $5$:

 

Tồn tại hay không $1991$ điểm trên mặt phẳng sao cho ba điểm bất kỳ trong chúng là ba đỉnh của một tam giác có một góc tù.

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 20-05-2014 - 07:51

[hoctrocuaZel]

     $\boxed{1_{2}}$  Cho phương trình $x^2+ax+b+1=0$. Trong đó $a,b \in Z$ và $b \neq -1$. Chứng minh rằng:

 

                                Nếu phương trình có hai nghiệm đều là những số nguyên thì $a^2+b^2$ là hợp số.

 

Bài làm:

 

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \geq 0$

Theo Vi-ét, có: $x_{1}+x_{2}=-a$ và $x_{1}.x_{2}=b+1\neq 0 (b\neq -1) \Rightarrow x_{1}\neq 0; x_{2}\neq 0$

Do đó, $a^{2}+b^2=(x_{1}+x_{2})^2+(x_{1}.x_{2}-1)^2 =x_{1}^2+x_{2}^2+(x_{1}.x_{2})^2+1 =(x_{1}^2+1)(x_{2}^2+1)$ là hợp số vì $x_{1};x_{2} \neq 0$

 

Đề nghị bạn không copy nguyên vẹn bài làm của người khác...rồi post lời giải sẽ không được tự nhiên lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 18-05-2014 - 16:10

[Trang Luong]

Mình xin ủng hộ các bạn tuyển tập đề 2013-2014 dù có 1 số tỉnh không có đề và đáp án nhưng các bạn cũng tham khảo qua nhé!

Spoiler

     77-De-thi-lop10truongchuyen2013.pdf   4.13MB   674 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 18-05-2014 - 21:57

[Yagami Raito]

$\boxed{\text{Đề 1}}$: Năm $1991$ ( Cho mọi thí sinh)

 

Bài $1$:

 

              $1.$ Giải và biện luận phương trình

 

$\frac{\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}}=\sqrt{b}$      $(1)$

 

                  Trong đó $a,b$ là các số dương đã cho.

 

Để các căn có nghĩa ta phải có $-a \leq x \leq a$. Do vế phải dương nên $\sqrt{a+x}-\sqrt{a-x}>0 \Rightarrow x>0$

 

Vậy điều kiện với $x$ là :$0<x \leq a$. Với điều kiện đó $(1)$ tương đương:

 

$\frac{2a+2\sqrt{a^2-x^2}}{2a-2\sqrt{a^2-x^2}}=b\Rightarrow \sqrt{a^2-x^2}=\frac{a(b-1)}{b+1}(2)$

 

Do đó: 

 

Nếu $b<1$ thì $(2)$ vô nghiệm $\Rightarrow (1)$ cũng vô nghiệm.

 

Nếu $b \geq 1$ thì $(2)$ tương đương:

 

$a^2-x^2=\frac{a^2(b-1)^2}{(b+1)^2}\Rightarrow x^2=a^2.\frac{4b}{(b+1)^2}\Rightarrow x=\pm \frac{2a\sqrt{b}}{b+1}$

 

Lại vì $b+1 \leq 2\sqrt{b}$ nên ta loại nghiệm âm để thỏa $0<x\leq 2$

 

Vậy $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi $b \geq 1$ và nghiệm đó là $x=\dfrac{2a\sqrt{b}}{b+1}$

 

-----------------------------------------------------------

Topic hay các Mem chém sôi nổi vào!!

[Super Fields]

$\boxed{\text{Đề 1}}$: Năm $1991$ ( Cho mọi thí sinh)

 

Bài $2$:

 

Cho $a;b;c$ là các số đôi một khác nhau và khác $0$. Giải hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} a^3x+a^2y+az=1 (1)\\ b^3x+b^2y+bz=1 (2)\\ c^3x+c^2y+cz=1 (3)\end{matrix}\right.$

 

 

Dọn dẹp nhanh Đề $1$ nào!

 

Bài $2$:

 

Nhân $(1)$ với $b$ và $(2)$ với $a$ rồi trừ từng vế cho nhau, sau đó chia cho $a-b \neq 0$, ta được phương trình:

 

$ab(a+b)x+aby=-1$     $(4)$

 

Tương tự nhân $(1)$ với $c$ và $(3)$ với $a$ rồi trừ từng vế cho nhau sau đó chia cho $a-c \neq 0$ ta được:

 

$ac(a+c)x+acy=-1$    $(5)$

 

Nhần $(4)$ với $c$, nhân $(5)$ với $b$ rồi lại trừ từng vế cho nhau, sau đó chia cho $b-c \neq 0$, ta được:

 

$abcx=1 \Rightarrow x=\frac{1}{abc}$. Thay vào $(4)$ thu được $y=-\frac{a+b+c}{abc}$

 

Thay $x;y$ vào $(1)$ thu được $z=\frac{ab+bc+ca}{abc}$.

 

Vậy nghiệm của hệ đã cho là:

 

$(x;y;z)=(\frac{1}{abc};-\frac{a+b+c}{abc};\frac{ab+bc+ca}{abc})$

 

-----------------------------------------------------------------------

Đề chung mà sao thấy ít ai chém quá vậy  . Chém nhanh còn qua đề chuyên nữa nào 

[Super Fields]

$\boxed{\text{Đề 1}}$: Năm $1991$ ( Cho mọi thí sinh)

 

Bài $3$:

 

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $7^x=3.2^y+1$

Giải nốt bài $3$ còn mấy bài hình mọi nguời thử sức ( chậm nhất $2$ ngày nữa sẽ qua đề mới. giải những bài chưa được giải!)

 

Bài $3$

 

Có đánh giá $7^x$ chia $4$ dư $3$ nếu $x$ lẻ và dư $1$ nếu $x$ chẵn. Phương trình đã cho tương đương:

 

$7^x-1=3.2^y$

 

Nếu $x$ lẻ thì $7^x-1$ chia $4$ dư $2$, mà với $y \geq 2$ thì $3.2^y$ chia hết cho $4$. Do đó $y=1$, ta được ngay cặp nghiệm:

 

$(x;y)=(1;1)$

 

Nếu $x$ chẵn tức $x=2z$ ( với $z$ nguyên dương), phương trình đầu có dạng:

 

$(7^z+1)(7^z-1)=3.2^y$                            $(*)$

 

Vì $2;3$ là các số nguyên tố, nên $(*)$ là dạng phân tích của $(7^z+1)(7^z-1)$ thành tích các thừa số nguyên tố.

 

Do $7^z-1$ chia $3$ dư $2$ nên $7^z+1=2^n$  $(**)$ với $n$ là số nguyên dương nào đó thỏa mãn.

 

Từ đó $7^z-1=2^n-2$. Vậy $(2)$ có dạng:

 

$2^n(2^n-2)=3.2^y \Rightarrow 2^{n+1}(2^{n-1}-1)=3.2^y$

 

Do $2^{n-1}-1$ không chia hết cho $2$ nên $2^{n-1}-1=3$ hay $n=3$. Thay vào $(**)$, ta có ngay $z=1$ hay $x=2$ và có luôn cặp nghiệm tiếp theo:

 

$(x;y)=(2;4)$

 

Vậy phương trình đã cho có $2$ cặp nghiệm nguyên dương: $(x;y)=(1;1);(2;4)$ 

[Viet Hoang 99]

$\boxed{\text{Đề 1}}$: Năm $1991$ ( Cho mọi thí sinh)

 

Bài $5$:

 

Tồn tại hay không $1991$ điểm trên mặt phẳng sao cho ba điểm bất kỳ trong chúng là ba đỉnh của một tam giác có một góc tù.

 

Bài $5$:

 

Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy 1991 điểm khác nhau là $A_1;A_2;...;A_{1991}$ (khác $A;B$)

Gọi 3 điểm bất kì đó là $A_m;A_n;A_p$ cùng thuộc 1 đường tròn nên 3 điểm không thẳng hàng

Giả sử $A_n$ nằm giữa $A_m;A_p$ $\Rightarrow \widehat{A_mA_nA_p}$ là góc tù

$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-05-2014 - 11:03

[Viet Hoang 99]

$\boxed{\text{Đề 1}}$: Năm $1991$ ( Cho mọi thí sinh)

 

 

Bài $4$:

 

             $1.$ Cho hình thang $ABCD$ $(AB//CD)$. Gọi giao điểm của $AD$ và $BC$ là $E$, giao điểm của $AC$ và $BD$ là $F$.                        

                   Chứng minh rằng đường thẳng $EF$ đi qua trung điểm của hai đáy $AB;CD$

 

 

Bài $4$:

 

$1/$

Gọi các điểm như hình vẽ

$MN//BC\Rightarrow \frac{MF}{DC}=\frac{AM}{AD}=\frac{AF}{AC}=\frac{BN}{BC}=\frac{FN}{DC}\Rightarrow MF=NF\Rightarrow \frac{IA}{MF}=\frac{EI}{EF}=\frac{IB}{NF}$
$\Rightarrow \frac{IA}{IB}=\frac{MF}{NF}=1$
$\Rightarrow $ đpcm

 

$\boxed{\text{Đề 1}}$: Năm $1991$ ( Cho mọi thí sinh)

 

 

Bài $4$:

 

           

             $2.$ Cho $\Delta ABC$. $M;N;P$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $BC;CA;AB$. Nối $AM,BN.CP$. Chứng minh nếu diện tích                    

                  của bốn tam giác gạch chéo bằng nhau thì các diện tích của ba tứ giác không gạch chéo cũng bằng nhau. ( Xem hình )                     

 

 

 

$2/$

$AJ$ cắt $KN$ tại $E$.

Có:

$S_{IJK}=S_{NJC}\Rightarrow S_{ICK}=S_{ICN}\Rightarrow KN//IC$

Áp dụng ý $1$ ta có:

$E$ là trung điểm $KN$

$\Rightarrow S_{AKE}=S_{AEN};S_{JEK}=S_{JEN}$

$\Rightarrow S_{AKJ}=S_{ANJ}$

$\Rightarrow S_{APJ}=S_{AJC}\Rightarrow PJ=CJ\Rightarrow S_{BPJ}=S_{BCJ}$

$\Rightarrow S_{BIKP}=S_{MIJC}$

Cmtt $\Rightarrow S_{BIKP}=S_{MIJC}=S_{AKJN}$

 

P/s: Những bạn nào không tuân thủ đúng quy định ở #1 sẽ bị ẩn bài

Người ra đề (Super Fields) dùng hình vẽ như mình dùng, hình kia khi trích dẫn không nhìn được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 19-05-2014 - 15:25

[Super Fields]

Trước hết là chúc mừng các Mem đã hoàn thành Đề $1$

 

Spoiler

 

Bây giờ cùng thử sức với đề thứ $2$ nào

 

-------------------------------

 

$\boxed{\text{Đề 2}}$ Năm $1991$ ( Dành cho chuyên Toán -Tin)

 

 

Bài $1$:

 

                      $1.$ Rút gọn biểu thức:

 

                                        $A=\sqrt[3]{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}.\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}$

 

                      $2.$ Phân tích biểu thức sau thành phân tử:

 

                                        $B=(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$

 

Bài $2$:

 

Cho các số $a;b;c;\alpha;\beta;\gamma$ thỏa mãn hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=0\\ \alpha+\beta+\gamma=0\\ \dfrac{\alpha}{a}+\dfrac{\beta}{b}+\dfrac{\gamma}{c}=0 \end{matrix}\right.$

 

Tính giá trị biểu thức $P=\alpha a^2+\beta b^2 +\gamma c^2$

 

 

Bài $3$:

 

Cho bốn số $0 \leq a;b;c;d \leq 1$

 

Chứng minh rằng: $0 \leq a+b+c+d-ab-bc-cd-da \leq 2$

 

Bài $4$:

 

Cho trước $a$ và $d$ là những số nguyên dương. Xét tất cả các số có dạng:

 

$a;a+d;a+2d;...;a+nd;...$

 

Chứng minh trong các số đó có it nhất một số mà $4$ chữ số đầu tiên của nó là $1991$.

 

Bài $5$:

 

Trong một cuộc hội thảo khoa học có $100$ người tham dự. Giả sử mỗi người đều quen biết với it nhất $67$. CMR: có thể tìm được một nhóm $4$ người mà bất kỳ $2$ người trong nhóm đó đều quen biết nhau.

 

Bài $6$:

 

  $1.$ Cho hình vuông $ABCD$. $M$ nằm trong hình vuông sao cho $\angle MAB =\angle MBA =15^o$. Chứng minh $\Delta MCD$ là một tam giác đều

 

  $2.$ Hãy xây dựng một tập hợp gồm $8$ điểm có tính chất: Đường trung trực của đoạn nối hai điểm bất kỳ luôn đi qua ít nhất hai điểm của tập hợp điểm đó.

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 21-05-2014 - 08:50

[einstein627]

Bài $1$:

                      $1.$ Rút gọn biểu thức:

                                        $A=\sqrt[3]{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}.\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}$

 

Bài $1$

 

$(1)$ Rút gọn biểu thức:

 

                                        $A=\sqrt[3]{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}.\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}$

Ta có :

$\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}=\sqrt[6]{12-16\sqrt{6}+32}=\sqrt[6]{(2\sqrt{3}+4\sqrt{2})^{2}}=\sqrt[3]{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}$

Vậy $A=\sqrt[3]{(2\sqrt{3}-4\sqrt{2})(2\sqrt{3}+4\sqrt{2})}=\sqrt[3]{12-32}=-\sqrt[3]{20}$

 

 

---------------------------------------------------------

Spoiler

Lần sau làm nhớ trích lại đề cho dễ nhìn nhé  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi einstein627: 19-05-2014 - 14:43

[Viet Hoang 99]

$\boxed{\text{Đề 2}}$ Năm $1991$ ( Dành cho chuyên Toán -Tin)


Bài $1$:

$1.$ Rút gọn biểu thức:

$A=\sqrt[3]{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}.\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}$

$2.$ Phân tích biểu thức sau thành phân tử:

$B=(x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5$
 

Bài $1$:

$1/$
$A=\sqrt[3]{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}.\sqrt[6]{44+16\sqrt{6}}=\sqrt[3]{2\sqrt{3}-4\sqrt{2}}.\sqrt[3]{2\sqrt{3}+4\sqrt{2}}=-\sqrt[3]{20}$
$2/$

Đặt $a=x-y;b=y-z\Rightarrow a+b=x-z$
$\Rightarrow B=a^5+b^5-(a+b)^5=(a+b)\left [ a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4-(a+b)^4 \right ]=(a+b)\left [ -5(a^3b+a^2b^2+ab^3) \right ]=-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2)=5(x-y)(y-z)(z-x)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

 

$\boxed{\text{Đề 2}}$ Năm $1991$ ( Dành cho chuyên Toán -Tin)



Bài $3$:

Cho bốn số $0 \leq a;b;c;d \leq 1$

Chứng minh rằng: $0 \leq a+b+c+d-ab-bc-cd-da \leq 2$
 

Bài $3$:

$1/$
$a-ab=a(1-b)\geq 0\Rightarrow a+b+c+d-ab-bc-cd-da\geq 0$
Dấu = có khi: $a=b=c=d=0;1$

$2/$
Có: $(1-a)(1-b)\geq 0\Rightarrow a+b-ab\leq 1$
Cmtt ta cũng được:

$b+c-bc\leq 1; a+c-ac\leq 1;d+a-da\leq 1$

Cộng lại vế theo vế, ta có: $2(a+b+c+d)-ab-bc-cd-da\leq 4$ $(1)$

Mà $ab+bc+cd+da\geq 0$

$\Rightarrow -(ab+bc+cd+da)\leq 0$ $(2)$

Cộng $(1)$ và $(2)$ ta có:
$2(a+b+c+d)-2(ab+bc+cd+da)\leq 4$
$\Leftrightarrow a+b+c+d-ab-bc-cd-da\leq 2$

 

Dấu = xảy ra khi $(a;b;c;d)=(1;0;1;0);(0;1;0;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-05-2014 - 16:26

[Shiprl]

 

 

$\boxed{\text{Đề 2}}$ Năm $1991$ ( Dành cho chuyên Toán -Tin)

 

 

Bài $5$:

 

Trong một cuộc hội thảo khoa học có $100$ người tham dự. Giả sử mỗi người đều quen biết với it nhất $67$. CMR: có thể tìm được một nhóm $4$ người mà bất kỳ $2$ người trong nhóm đó đều quen biết nhau.

 

 

Bài 5:

Xét người A bất kì trong $100$ người dự hội nghị

Theo đề bài, A quen với ít nhất $67$ người, đặt tập hợp những người quen A là tập S có ít nhất $67$ phần tử.

Xét người B bất kì thuộc S

Vì B quen với tối thiểu $67$ người nên B không quen với tối đa $99-67=32$ người

mà tập S có ít nhất $67$ phần tử

nên B quen với tối thiểu $66-32=34$ người thuộc S (gọi là tập Q)

Lại xét người C bất kì thuộc Q, CMTT có: C quen với tối thiểu $33-32=1$ người thuộc tập Q, gọi người đó là D

Vậy ta có nhóm $4$ người A, B, C, D thoả mãn điều kiện đã cho

 

_______________

Viet Hoang 99:

Đề nghị bạn trích dẫn đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-05-2014 - 16:30

[Viet Hoang 99]

 

$\boxed{\text{Đề 2}}$ Năm $1991$ ( Dành cho chuyên Toán -Tin)

 

Bài $6$:

 

  $1.$ Cho hình vuông $ABCD$. $M$ nằm trong hình vuông sao cho $\angle MAB =\angle MBA =15^o$. Chứng minh $\Delta MCD$ là một tam giác đều

 

  $2.$ Hay xây dựng một tập hợp gồm $8$ điểm có tính chất: Đường trung trực của đoạn nối hai điểm bất kỳ luôn đi qua ít nhất hai điểm của tập hợp điểm đó.

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

Bài $6$:

$1/$

Dựng tam giác đều $M'CD$ (như hình vẽ)
$\Rightarrow \bigtriangleup ADM;\bigtriangleup BCM$ cân tại $D;C$ (Do $DM=DA;CM=CB$)

$\Rightarrow \widehat{ADM'}=\widehat{BCM'}=30^o\Rightarrow \widehat{DAM'}=\widehat{CBM'}=75^o$

Dễ dàng cm đc $\widehat{DAM}=\widehat{CBM}=75^o$

$\Rightarrow M\equiv M'$

$\Rightarrow $ đpcm

 

 

$\boxed{\text{Đề 2}}$ Năm $1991$ ( Dành cho chuyên Toán -Tin)

 

Bài $2$:

 

Cho các số $a;b;c;\alpha;\beta;\gamma$ thỏa mãn hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=0\\ \alpha+\beta+\gamma=0\\ \dfrac{\alpha}{a}+\dfrac{\beta}{b}+\dfrac{\gamma}{c}=0 \end{matrix}\right.$

 

Tính giá trị biểu thức $P=\alpha a^2+\beta b^2 +\gamma c^2$

 

 

 

Bài $2$:

 

ĐK: $a;b;c\neq 0$

Có: 

+) $PT1\Rightarrow c=-(a+b)$

+) $PT2\Rightarrow \gamma =-(\alpha +\beta )$

+) $PT3\Rightarrow \alpha .bc+\beta .ca+\gamma .ab=\alpha .b.\left [-(a+b)  \right ]+\beta .a.\left [-(a+b)  \right ]+\left [ -(\alpha +\beta ) \right ].ab=0$
$\Leftrightarrow (a+b)(\alpha b+\beta a)+ab(\alpha +\beta )=0$
$\Leftrightarrow \alpha b^2+\beta a^2+2ab(\alpha +\beta )=0$

$\Leftrightarrow \alpha b^2+\beta a^2-2ab\gamma =0$

Cmtt ta có: $\beta c^2+\gamma b^2-2bc\alpha =0;\gamma a^2+\alpha c^2-2ca\beta =0$

Cộng 3 đẳng thức trên lại ta có:

$(\alpha +\beta )c^2+(\gamma +\alpha )b^2+(\beta +\gamma )a^2-2(bc\alpha +ca\beta +ab\gamma )=0$
​$\Leftrightarrow \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2+2(bc\alpha +ca\beta +ab\gamma )=0$
$\Leftrightarrow \alpha a^2+\beta b^2+\gamma c^2+2abc\left (\frac{\alpha }{a}+\frac{\beta }{b}+\frac{\gamma c}{c}  \right )=0$
$\Leftrightarrow P=\alpha a^2+\beta b^2 +\gamma c^2=0$ (đpcm)

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 19-05-2014 - 17:09

[Super Fields]

$\boxed{\text{Đề 2}}$ Năm $1991$ ( Dành cho chuyên Toán -Tin)

 

Bài $4$:

 

Cho trước $a$ và $d$ là những số nguyên dương. Xét tất cả các số có dạng:

 

$a;a+d;a+2d;...;a+nd;...$

 

Chứng minh trong các số đó có it nhất một số mà $4$ chữ số đầu tiên của nó là $1991$.

 

Giả sử $k$ là số tự nhiên thỏa $a<10^k, d<10^k$. Đặt $a_n=a+nd$ và $x_n=\dfrac{a_n}{1991}=\dfrac{a}{1991}+n\frac{d}{1991}$

 

Do $\frac{a}{1991}<10^k$ và $\frac{d}{1991}>0$ nên tồn tại số tự nhiên $m$ thỏa:

 

$x_{m-1} \leq 10^k <x_m$                         $(1)$

 

Mặt khác:

 

$x_m=x_{m-1}+\frac{d}{1991}<x_{m-1}+\frac{10^k}{1991}\leq 10^k+\frac{10^k}{1991}=\frac{1992.10^k}{1991}$                        $(2)$

 

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có:

 

$10^k<x_m<\frac{1992.10^k}{1991} \Rightarrow 1991.10^k<1991.x_m<1992.10^k$

 

Hay:

 

$1991.10^k<a_m<1992.10^k$

 

Do đó: $a_m=a+md$ là số có bốn chữ số đầu tiên là $1991$

 

 

-----------------------------------------------------------------------------

Bài thú vị  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 20-05-2014 - 08:15

[Super Fields]

Bài $6$:

 

  $2.$ Hãy xây dựng một tập hợp gồm $8$ điểm có tính chất: Đường trung trực của đoạn nối hai điểm bất kỳ luôn đi qua ít nhất hai điểm của tập hợp điểm đó.

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

 

Trong hình vuông $ABCD$ dựng bốn điểm ${A,B,C,D,M,N,P,Q}$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

 

Có tất cả là $\frac{8.7}{2}=28$ đoạn thằng nối hai trong tám điểm trên. Ta chia chúng thành $6$ nhóm sau:

 

$a)$ $4$ cạnh $AB,BC,CD,DA$ của hình vuông $ABCD$

$b)$ $2$ đường chéo $AC,BD$ của hình vuông $ABCD$

$c)$ $4$ cạnh $MN,NP,PQ,QM$ của hình vuông $MNPQ$ ( Dễ thấy $MNPQ$ là hình vuông )

$d)$ $2$ đường chéo $MN,NQ$ của hình vuông $MNPQ$

$e)$ $8$ đoạn $MA,MB,NB,NC,PC,PD,QD,QA$

$f)$  $8$ đoạn $MC,MD,ND,NA,PA,PB,QB,QC$

 

 

Ta chứng minh các nhóm thỏa điều kiện bài toán. Đó là đpcm.

 

------------------------------------------------------

Bài này xoắn $\Rightarrow$ coi giải   

[Super Fields]

Tiếp theo.. Tăng tốc nào

 

----------------

 

$\boxed{\text{Đề 3}}$  Năm $2002$ ( Cho thí sinh chuyên toán và tin)

 

Bài $1$:

 

$1.$ Giải phương trình: $\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}$

 

$2.$ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x+xy+y =9$

 

Bài $2$: Giải hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy=1\\ x^3+y^3=x+3y \end{matrix}\right.$

 

Bài $3$:

 

Cho mười số nguyên dương $1,2,...,10$. Sắp xếp mười số đó một cách tùy ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta được mười tổng. Chứng minh rằng trong mười tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau.

 

Bài $4$:

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$P= \frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$

 

Với $a;b;c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

 

Bài $5$:

 

Đường tròn $\left ( C \right )$ tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC;CA;AB$ tương ứng tại các điểm $A';B';C'$.

 

$1.$ Gọi các giao điểm của đường tròn $\left ( C \right )$ với các đoạn $IA,IB,IC$ lần lượt là $M,N,P$. Chứng minh rằng các đường thẳng $A'M,B'N,C'P$ đồng quy.

 

$2.$ Kéo dài đoạn $AI$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $D$( khác $A$). Chứng minh rằng:

 

$\frac{IB.IC}{ID}=2r$ trong đó $r$ là bán kính đường tròn $\left ( C \right )$.

 

$\blacksquare \blacksquare \blacksquare$

 

-------------------------------------------

Cố gắng một ngày một đề  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 21-05-2014 - 11:07

[BlackZero]

Bài 2: nhân chéo giải hệ đẳng cấp

 

Ta có $4xy^2+4x^2y+2y^3=0$

xét $y=0$ thì $x=1,x=-1$

xét $y \neq 0$

ta đặt $\frac{x}{y}=t$

ta có $4t^2+4t+2=0$ vô nghiệm 

 

Bài 1a: tách nhóm

 

$\sqrt{(x-2)(x-1)}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{(x-1)(x+3)}$

nhóm lại

$\begin{bmatrix} \sqrt{x-1}=1\\\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3} \end{bmatrix}\Leftrightarrow x=2$

Bài 1b: mình nghĩ biến đổi $x$ theo $y$ là ok

 

$x=\frac{9-y}{1+y}=-1+\frac{10}{1+y}$ 

$1+y$ là ước $10$ là ${ \pm 1;\pm 2;\pm 5;\pm 10 }$

vậy $(x,y)=(0;9),(1;4),(-3;-6);(-2;-11)$ và các hoán vị của chúng.
-------------------------------------------------

P/s xin lỗi, mình mới vào topic   ,để mình sửa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 21-05-2014 - 09:23

[Viet Hoang 99]

 

 

$\boxed{\text{Đề 3}}$  Năm $2002$ ( Cho thí sinh chuyên toán và tin)

 

Bài $1$:

 

$1.$ Giải phương trình: $\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2+2x-3}$

 

$2.$ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x+xy+y =9$

 

Bài $1$:

$1/$
$PT\Leftrightarrow \sqrt{x-2}(\sqrt{x-1}-1)-\sqrt{x+3}(\sqrt{x-1}-1)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=2 & & \\ \sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}(\textrm{Vô Lý}) & & \end{bmatrix}$

$2/$

 

$PT\Leftrightarrow (x+1)(y+1)=10$

Do $x;y$ nguyên

$\Rightarrow x+1;y+1$ thuộc ước của $10$

$\textrm{Ư}(10)=\pm 1;\pm 2;\pm 5;\pm 10$

Xét các trường hợp ...

Kết luận: $(x;y)=(0,9);(1;4);(-3;-6);(-2;-11)$ và các hoán vị

 

 

$\boxed{\text{Đề 3}}$  Năm $2002$ ( Cho thí sinh chuyên toán và tin)

 

 

Bài $2$: Giải hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+xy=1\\ x^3+y^3=x+3y \end{matrix}\right.$

 

 

 

Bài $2$:

$PT2\Leftrightarrow x^3+y^3=(x+3y).1=(x+3y)(x^2+xy+y^2)$

$\Leftrightarrow 2y^3+4xy^2+4x^2y=0$

$\Leftrightarrow 2y(2x^2+2xy+y^2)=0$

*) Nếu $y=0\Rightarrow x=\pm 1$

*) Nếu $2x^2+2xy+y^2=0\Leftrightarrow x^2+(x+y)^2=0\Leftrightarrow x=y=0$

Thử lại hệ cho vô nghiệm

Vậy $(x;y)=(\pm 1;0)$

 

 

 

$\boxed{\text{Đề 3}}$  Năm $2002$ ( Cho thí sinh chuyên toán và tin)

 

Bài $4$:

 

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

 

$P= \frac{4a}{b+c-a}+\frac{9b}{a+c-b}+\frac{16c}{a+b-c}$

 

Với $a;b;c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Bài $4$:

Đặt

$\left\{\begin{matrix}b+c-a=2x & & \\ c+a-b=2y & & \\ a+b-c=2z \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=y+z & & \\ b=z+x & & \\ c=x+y \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow 2P=4.\frac{y+z}{x}+9.\frac{z+x}{y}+16.\frac{x+y}{z}=(4.\frac{y}{x}+9.\frac{x}{y})+(4.\frac{z}{x}+16.\frac{x}{z})+(9.\frac{z}{y}+16.\frac{y}{z})$
$\geq 2\sqrt{4.\frac{y}{x}.9.\frac{x}{y}}+2\sqrt{4.\frac{z}{x}.16.\frac{x}{z}}+2\sqrt{9.\frac{z}{y}.16\frac{y}{z}}=52$ (Cô Si)
$\Rightarrow P\geq 26$

Dấu = có khi chẳng hạn $x=2;y=3;z=4$

$\Rightarrow a=7;b=6;c=5$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 21-05-2014 - 09:19

[Hermione Granger]

 

Bài $3$:

 

Cho mười số nguyên dương $1,2,...,10$. Sắp xếp mười số đó một cách tùy ý thành một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nó trong hàng ta được mười tổng. Chứng minh rằng trong mười tổng đó tồn tại ít nhất hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau.

 

 

 

Gọi $10 $số nguyên dương sắp xếp theo thứ tự trong hàng là : $a_{1},a_{2},...,a_{10}$

Ta có $10$ tổng:

$b_{1}=a_{1}+1$

$b_{2}=a_{2}+2$

$.....$

$b_{10}=a_{10}+10$

Khi đó $ b_{1}+b_{2}+...+b_{10} =110 $ là một số chẵn

$\Rightarrow $ Trong các số $b_{1}, b_{2},...,b_{10}$ có số số lẻ là một số chẵn

+Nếu số các số lẻ nhiều hơn $5$ 

Do các số lẻ chỉ có thể có tận cùng là $1,3,5,7 $ hoặc$,9$ nên có ít nhất $ 2 $ số lẻ có chữ số tận cùng giống nhau.

+Nếu số các số lẻ ít hơn $5 $

$\Rightarrow $ Số các số chẵn nhiều hơn 5, do các số chẵn chỉ có thể có tận cùng là $0,2,4,6$ hoặc $8$ nên có ít nhất $2$ số chẵn có chữ số tận cùng giống nhau.

$\Rightarrow  dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hermione Granger: 21-05-2014 - 10:12