Chủ đề này có 47 trả lời

[Super Fields]

$\boxed{\text{Đề 7}}$ Năm $2001$ (Dành cho thí sinh chuyên tóan)

 

Câu $1$: CMR biểu thức:

 

$\left ( \left | \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2} \right |-\left | x \right | \right )+\left ( \left | \sqrt{xy}-\frac{x+y}{2} \right |-\left | y \right | \right )$

 

không phụ thuộc vào $x,y$.

 

Câu $2$: 1, Giải phương trình:

 

$(x^2-1)^2+4(x-1)^2=12(x+1)^2$ 2,

 

Xác định các giá trị của $m$ để phương trình: $\left | \frac{x^2-4mx+4m^2+1}{x-2m} \right |+x^2-6x+7=0$

 

Câu $3$:

 

1, Cho hai đường tròn $(O), (O')$ tiếp xúc trong tại $M$ (đường tròn $(O')$ nằm trong), $N$ là một điểm nằm trên $(O')$ ($N\neq M$). Qua $N$ kẻ một tiếp tuyến với $(O')$ cắt $(O)$ tại $A, B$. Đường thẳng $MN$ cắt $(O)$ tại $E$. Gọi $I$ là tiếp điểm của tiếp tuyến với $(O')$ kẻ từ $E$. Đường thẳng $EI$ cắt $(O)$ tại $C$. CMR: $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

 

2, Gọi $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh tam giác $ABC$ và $r,R$ lần lượt là độ dài bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác. CMR điều kiện cần và đủ để tam giác $ABC$ đều là: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\sqrt{\frac{3}{2Rr}}$

 

Câu $4$: Cho $n$ là số tự nhiên lẻ và $n$ có thể biểu diễn không ít hơn $2$ cách là tổng của hai số chính phương. CMR: $n$ là hợp số.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 23-05-2014 - 13:55

[HoangHungChelski]

 

Câu $4$: Cho $n$ là số tự nhiên lẻ và $n$ có thể biểu diễn không ít hơn $2$ cách là tổng của hai số chính phương. CMR: $n$ là hợp số.$

Lời giải: 
Giả sử $n$ là số nguyên tố. 
Vì $n$ có thể biểu diễn không ít hơn $2$ cách là tổng của $2$ số chính phương nên ta đặt $n=a^2+b^2=c^2+d^2$$a,b,c,d\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow n^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\Rightarrow n^2\geq (ac+bd)^2$ (1)
Ta có: $(ac+bd)(ad+bc)=ab(c^2+d^2)+cd(a^2+b^2)=(ab+cd)n$
$\Rightarrow \begin{bmatrix} ac+bd\vdots n & & \\ ad+bc\vdots n & & \end{bmatrix}$
Không mất tính tổng quát, giả sử $ac+bd\vdots n\Rightarrow (ac+bd)^2\geq n^2$ (2)
Từ (1) và (2)$\Rightarrow (ac+bd)^2=n^2$$\Leftrightarrow ad=bc\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$
+, Nếu $a>c\Rightarrow b>d\Rightarrow a^2+b^2> c^2+d^2$ (mâu thuẫn)
+, Nếu $a<c$. Tương tự, ta cũng có điều mâu thuẫn!
Vậy giả sử sai, và ta có $dpcm$.

[canhhoang30011999]

$\boxed{\text{Đề 7}}$ Năm $2001$ (Dành cho thí sinh chuyên tóan)

 

Câu $1$: CMR biểu thức:

 

$\left ( \left | \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2} \right |-\left | x \right | \right )+\left ( \left | \sqrt{xy}-\frac{x+y}{2} \right |-\left | y \right | \right )$

 

không phụ thuộc vào $x,y$.

 

Câu $2$: 1, Giải phương trình:

 

$(x^2-1)^2+4(x-1)^2=12(x+1)^2$ 2,

 

Xác định các giá trị của $m$ để phương trình: $\left | \frac{x^2-4mx+4m^2+1}{x-2m} \right |+x^2-6x+7=0$

 

Câu $3$:

 

1, Cho hai đường tròn $(O), (O')$ tiếp xúc trong tại $M$ (đường tròn $(O')$ nằm trong), $N$ là một điểm nằm trên $(O')$ ($N\neq M$). Qua $N$ kẻ một tiếp tuyến với $(O')$ cắt $(O)$ tại $A, B$. Đường thẳng $MN$ cắt $(O)$ tại $E$. Gọi $I$ là tiếp điểm của tiếp tuyến với $(O')$ kẻ từ $E$. Đường thẳng $EI$ cắt $(O)$ tại $C$. CMR: $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

 

2, Gọi $a,b,c$ là độ dài $3$ cạnh tam giác $ABC$ và $r,R$ lần lượt là độ dài bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp tam giác. CMR điều kiện cần và đủ để tam giác $ABC$ đều là: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\sqrt{\frac{3}{2Rr}}$

 

Câu $4$: Cho $n$ là số tự nhiên lẻ và $n$ có thể biểu diễn không ít hơn $2$ cách là tổng của hai số chính phương. CMR: $n$ là hợp số.$

3.2

ta có

$R= \frac{abc}{4S}$

$r= \frac{2S}{a+b+c}$

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= \sqrt{\frac{3(a+b+c)}{abc}}$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}\geq 3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})$

$\Leftrightarrow a=b= c$

[BysLyl]

$\boxed{\text{Đề 7}}$ Năm $2001$ (Dành cho thí sinh chuyên tóan)

 

Câu $2$:  2,

 

Xác định các giá trị của $m$ để phương trình: $\left | \frac{x^2-4mx+4m^2+1}{x-2m} \right |+x^2-6x+7=0$

 

 

$VT=\left | \frac{(x-2m)^{2}+1}{x-2m} \right |+x^{2}-6x+7=\left | x-2m+\frac{1}{x-2m} \right |+x^{2}-6x+7\geq 2+x^{2}-6x+7=(x-3)^{2}\geq 0$

Dấu "=" xảy ra khi  $\left\{\begin{matrix} x=3\\ x=2m+1 \end{matrix}\right. \Rightarrow m=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BysLyl: 23-05-2014 - 20:11

[synovn27]

Câu $2$: 1, Giải phương trình:

 

$(x^2-1)^2+4(x-1)^2=12(x+1)^2$ 

 

$đặt x-1=a x+1=b$ ta có $\left ( ab \right )^{2}+4a^{2}=12b^{2}$ với a+2=b $\left (a^{2}-6\right )\left (a^{2}+4a+2\right )=0$ từ đó tìm điều kiện $a$ suy ra được $x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 25-05-2014 - 14:53

[BysLyl]

$\boxed{\text{Đề 7}}$ Năm $2001$ (Dành cho thí sinh chuyên tóan)

 

Câu $1$: CMR biểu thức:

 

$\left ( \left | \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2} \right |-\left | x \right | \right )+\left ( \left | \sqrt{xy}-\frac{x+y}{2} \right |-\left | y \right | \right )$

 

không phụ thuộc vào $x,y$.

 

 

$xy\geq 0\Rightarrow$ x;y cùng dấu. Đặt biểu thức đã cho là A

Nếu x=y=0 thì A= 0

Nếu $x;y> 0\Rightarrow A= \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2} \Rightarrow A=\sqrt{xy}+\frac{x+y}{2}-x+\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}-y=0$

Nếu $x;y< 0\Rightarrow \left | x+y \right |\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow x +y> 2\sqrt{xy}\Rightarrow\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}\\ \sqrt{xy}+\frac{x+y}{2}> 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow A=-\sqrt{xy}-\frac{x+y}{2}+x+\sqrt{xy}-\frac{x+y}{2}+y=0$

Vậy A=0

[Shiprl]

 

Câu 

2: 1, Giải phương trình:

 

(x2−1)2+4(x−1)2=12(x+1)2

Đặt $x-1=a ; x+1=b$ ta lập được hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} (ab)^{2}+4a^{2}=12b^{2}\\ b-a=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (ab)^{2}=8(b^{2}-a^{2})+4a^{2}+4b^{2}\\ b-a=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (ab)^{2}=16(a+b)+4a^{2}+4b^{2}\\ b-a=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (ab)^{2}+8ab+16=4(a+b)^{2}+16(a+b)+16\\ b-a=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (ab+4)^{2}=(2(a+b)+4)^{2}\\ b-a=2 \end{matrix}\right.$

TH1

$ \left\{\begin{matrix} ab+4=2(a+b)+4\\ b-a=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a(a+2)+4=2(a+a+2)+4\\ b=a+2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}-2a-4=0\\ b=a+2 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a=1+\sqrt{5}\\ b=3+\sqrt{5} \end{matrix}\right. hay \left\{\begin{matrix} a=1-\sqrt{5}\\ b=3-\sqrt{5} \end{matrix}\right.$

TH2

$\left\{\begin{matrix} -ab-4=2(a+b)+4\\ b-a=2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a(a+2)+4+2(a+a+2)+4=0\\ b=a+2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a(a+2)+4+2(a+a+2)+4=0\\ b=a+2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^{2}+6a+9+3=0(x\epsilon \phi )\\ b=a+2 \end{matrix}\right.$

Vây $S={2+\sqrt{5};2-\sqrt{5}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shiprl: 25-05-2014 - 14:51

[Super Fields]

TOPIC TẠM ĐÓNG! VÌ SUPER FIELDS CÓ VÀI VIỆC BẬN. SẼ MỞ LẠI KHI CÓ ĐHV THCS NHẬN QUẢN LÍ TOPIC.