Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho 100 số tự nhiên thỏa mãn điều kiện:

$\sum\frac{1}{\sqrt{a_1}}=19$

Cmr: Trong 100 số tự nhiên đó , tồn tại 2 số bằng nhau.

[Vu Thuy Linh]

Cho 100 số tự nhiên thỏa mãn điều kiện:

$\sum\frac{1}{\sqrt{a_1}}=19$

Cmr: Trong 100 số tự nhiên đó , tồn tại 2 số bằng nhau.

Giả sử trog 100 số đã cho ko có 2 số nào bằng nhau. Giả sử $a_{1}< a_{2}< ...< a_{100}$

=> $a_{1}\geq 1;a_{2}\geq 2 ;...;a_{100}\geq 100$

Suy ra $\sum \frac{1}{\sqrt{a_{1}}}\leq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}$ = A

Xét số $\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

Thay n lần lượt các giá trị từ 2 đến 100 ta có:

A$< 2\sqrt{100}-1=19$. Trái với giả thiết => điều giả sử là sai

=> tồn tại 2 số bằng nhau