Chủ đề này có 2 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

$A=\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

 

[DarkBlood]

Cho a, b, c > 0. Chứng minh:

$A=\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

Đặt $a=x, 2b=y, 3c=z,$ bất đẳng thức trở thành

$A=\sum \dfrac{xy}{3x+4y+2z}\leq \dfrac{x+y+z}{9}$

$\Leftrightarrow A=\sum \dfrac{xy}{2(x+y+z)+(x+2y)}\leq \dfrac{x+y+z}{9}$

Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có

$A\leq \sum \dfrac{1}{9}\left ( \dfrac{2xy}{x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y} \right )\leq \sum \dfrac{1}{9}\left [ \dfrac{2xy}{x+y+z}+\dfrac{1}{9}\left ( x+2y \right ) \right ]=\dfrac{2\sum xy}{9\sum x}+\dfrac{\sum x}{27}$

Mà $3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^2$ nên $A\leq \dfrac{2\sum x}{27}+\dfrac{\sum x}{27}=\dfrac{\sum x}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DarkBlood: 18-05-2014 - 23:57

[leduylinh1998]

Đặt $a=x, 2b=y, 3c=z,$ bất đẳng thức trở thành

$A=\sum \dfrac{xy}{3x+4y+2z}\leq \dfrac{x+y+z}{9}$

$\Leftrightarrow A=\sum \dfrac{xy}{2(x+y+z)+(x+2y)}\leq \dfrac{x+y+z}{9}$

Áp dụng bất đẳng thức BCS, ta có

$A\leq \sum \dfrac{1}{9}\left ( \dfrac{2xy}{x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y} \right )\leq \sum \dfrac{1}{9}\left [ \dfrac{2xy}{x+y+z}+\dfrac{1}{9}\left ( x+2y \right ) \right ]=\dfrac{2\sum xy}{9\sum x}+\dfrac{\sum x}{27}$

Mà $3(xy+yz+zx)\leq (x+y+z)^2$ nên $A\leq \dfrac{2\sum x}{27}+\dfrac{\sum x}{27}=\dfrac{\sum x}{9}$

Mình nghĩ phải thế này chứ

$\frac{1}{x+2y}\leq \frac{1}{9}\left ( \frac{1}{x}+\frac{2}{y} \right )$