Cho a+b+c=3
CM $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$
Cho a+b+c=3
CM $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
ta có $a^4-a^3-a+1=(a-1)^2(a^2+a+1)\geq 0$
làm 2 cái tương tự ĐPCM
Cho a+b+c=3
CM $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$
Ta có $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a+b+c$
Lại có $(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a+b+c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Tương tự $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
ta có $a^4+a^4+a\geq 3a^3 $ lập luận tương tự ta có $2\sum a^4 +\sum a\geq 3\sum a^3 (DPCM)$
Xét $3(ax+by+cz)\geq (a+b+c)(x+y+z)$ với $(a\geq b\geq c);(x\geq y\geq z)$ hoặc $(a\leq b\leq c);(x\leq y\leq z)$
Thật vậy:
$3(ax+by+cz)\geq (a+b+c)(x+y+z)$$\Leftrightarrow 2(ax+by+cz)-(bx+cx+ay+cy+az+bz)\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x)\geq 0$
$\Rightarrow$ luôn đúng theo điều kiện đề bài........
Áp dụng: Không mất tính tổng quát: Giả sử $a\geq b\geq c$$\Rightarrow a^{3}\geq b^{3}\geq c^{3}$
Ta có: $3(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq (a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})$
$\Leftrightarrow 3(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})\Leftrightarrow$ điều phải chứng minh....
THPT PHÚC THÀNH K98
Cuộc sống luôn không ngừng đổi thay, chỉ có tình yêu là luôn ở đó, vẹn tròn và bất diệt. Chính vì thế tôi thay đổi để giữ điều ấy, để tốt hơn từng ngày
Thay đổi cho những điều không bao giờ đổi thay
Học toán trên facebook:https://www.facebook...48726405234293/
My facebook:https://www.facebook...amHongQuangNgoc
Dể mình đóng góp thêm 1 cách làm
Sử dụng phép nhom Abel
Ko mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a\geq 1 \\ a+b\geq 2 \end{matrix}\right.$
ta có $a^{4}+b^{4}+c^{4}=a^{3}.a+b^{3}.b+c^{3}.c$
=$a(a^{3}-b^{3})+(a+b)(b^{3}-c^{3})+c^{3}(a+b+c)$$\geq a^{3}-b^{3}+2(b^{3}-c^{3})+3c^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$
Bài này công nhận nhiều cách làm thiệt.
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
Chứng minh $a^{4}+b^{4}\geqslant a^{3}b+ab^{3}$
Ta có $a^{4}-a^{3}b-(ab^{3}-b^{4})=(a-b)(a^{3}-b^{3})=(a-b)^{2}(a^{2}-ab+b^{2})\geqslant 0$
Do $a^{2}-ab+b^{2}=(a-\frac{1}{2}b)^{2}+\frac{3}{4}b^{2}>0$
$\Rightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant \sum (a^{3}b+ab^{3})$
$\Rightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)$
$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant a^{3}(3-a)+b^{3}(b-a)+c^{3}(3-c)= \sum 3a^{3}-a^{4}$
Chuyển vế $\Leftrightarrow 3(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})$
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$
$9=(a+b+c)^3\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3$
Ta có: $(a^2-1)^2+(b^2-1)^2+(c^2-1)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq 2(a^2+b^2+c^2)-3\geq a^2+b^2+c^2$ (1)
Mặt khác:
$\left\{\begin{matrix} a^4+a^2\geq 2a^3 & & \\ b^4+b^2\geq 2b^3 & & \\ c^4+c^2\geq 2c^3 & & \end{matrix}\right. (2)$
Từ (1)(2) $\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)\geq a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2\geq 2(a^3+b^3+c^3)$
$\Rightarrow đpcm$
“Đừng ước rằng mọi chuyện sẽ dể dàng hơn; Hãy ước bạn tài giỏi hơn. Đừng ước rằng bạn sẽ có ít rắc rối trong cuộc sống; Hãy ước bạn có nhiều kỹ năng hơn. Đừng ước cuộc sống của bạn có ít thử thách; Hãy ước bạn khôn ngoan hơn.” - Jim Rohn
ta có $a^4+a^4+a\geq 3a^3 $ lập luận tương tự ta có $2\sum a^4 +\sum a\geq 3\sum a^3 (DPCM)$
Làm dến đó rồi làm tiếp ntn nữa
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
à quên $c/m: a^3+b^3+c^3\geq (a+b+c)$ nữa thôi. $\frac{a^3+b^3+c^3 }{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^2$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh