Chủ đề này có 10 trả lời

[mnguyen99]

Cho a+b+c=3

CM $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

[BlackZero]

ta có $a^4-a^3-a+1=(a-1)^2(a^2+a+1)\geq 0$

làm 2 cái tương tự ĐPCM

[yeutoan2604]

Cho a+b+c=3

CM $a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Ta có $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a+b+c$

Lại có $(a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{a+b+c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Tương tự $(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq (a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq \frac{(a^{3}+b^{3}+c^{3})^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\Leftrightarrow a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}$

[hoanganhhaha]

ta có $a^4+a^4+a\geq 3a^3 $ lập luận tương tự ta có $2\sum a^4 +\sum a\geq 3\sum a^3 (DPCM)$

[phamquanglam]

Xét $3(ax+by+cz)\geq (a+b+c)(x+y+z)$ với $(a\geq b\geq c);(x\geq y\geq z)$ hoặc $(a\leq b\leq c);(x\leq y\leq z)$

Thật vậy:

$3(ax+by+cz)\geq (a+b+c)(x+y+z)$$\Leftrightarrow 2(ax+by+cz)-(bx+cx+ay+cy+az+bz)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(x-y)+(b-c)(y-z)+(c-a)(z-x)\geq 0$

$\Rightarrow$ luôn đúng theo điều kiện đề bài........

Áp dụng: Không mất tính tổng quát: Giả sử $a\geq b\geq c$$\Rightarrow a^{3}\geq b^{3}\geq c^{3}$

Ta có: $3(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq (a+b+c)(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

$\Leftrightarrow 3(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geq 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})\Leftrightarrow$ điều phải chứng minh....

[mnguyen99]

Dể mình đóng góp thêm 1 cách làm

Sử dụng phép nhom Abel

Ko mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a\geq 1 \\ a+b\geq 2 \end{matrix}\right.$

ta có $a^{4}+b^{4}+c^{4}=a^{3}.a+b^{3}.b+c^{3}.c$

                                      =$a(a^{3}-b^{3})+(a+b)(b^{3}-c^{3})+c^{3}(a+b+c)$$\geq a^{3}-b^{3}+2(b^{3}-c^{3})+3c^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}$

Bài này công nhận nhiều cách làm thiệt.

[trang91ht]

Chứng minh $a^{4}+b^{4}\geqslant a^{3}b+ab^{3}$

Ta có $a^{4}-a^{3}b-(ab^{3}-b^{4})=(a-b)(a^{3}-b^{3})=(a-b)^{2}(a^{2}-ab+b^{2})\geqslant 0$

Do $a^{2}-ab+b^{2}=(a-\frac{1}{2}b)^{2}+\frac{3}{4}b^{2}>0$

$\Rightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant \sum (a^{3}b+ab^{3})$

$\Rightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)$

$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant a^{3}(3-a)+b^{3}(b-a)+c^{3}(3-c)= \sum 3a^{3}-a^{4}$

Chuyển vế $\Leftrightarrow 3(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

[lelinh99]

$9=(a+b+c)^3\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq 3$

Ta có: $(a^2-1)^2+(b^2-1)^2+(c^2-1)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\geq 2(a^2+b^2+c^2)-3\geq a^2+b^2+c^2$                   (1)              

Mặt khác:

$\left\{\begin{matrix} a^4+a^2\geq 2a^3 & & \\ b^4+b^2\geq 2b^3 & & \\ c^4+c^2\geq 2c^3 & & \end{matrix}\right. (2)$

Từ (1)(2) $\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)\geq a^4+b^4+c^4+a^2+b^2+c^2\geq 2(a^3+b^3+c^3)$

$\Rightarrow đpcm$

[hoanganhhaha]

em thấy bài không phức tạp mà các anh cứ phải abel rồi nhân góp làm j nhỉ. đâu phải cứ máy móc ?

[mnguyen99]

ta có $a^4+a^4+a\geq 3a^3 $ lập luận tương tự ta có $2\sum a^4 +\sum a\geq 3\sum a^3 (DPCM)$

Làm dến đó rồi làm tiếp ntn nữa

[hoanganhhaha]

à quên $c/m: a^3+b^3+c^3\geq (a+b+c)$ nữa thôi. $\frac{a^3+b^3+c^3 }{3}\geq (\frac{a+b+c}{3})^2$