Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Vu Thuy Linh

Vu Thuy Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 556 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:THCS Lâm Thao

Đã gửi 19-05-2014 - 20:27

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$



#2 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-05-2014 - 20:42

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$

 

 

$VT=\sum \frac{a}{(a+c)(b+c)}$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$ có

 

$\frac{a}{(a+c)(b+c)}+\frac{a(a+c)}{8}+\frac{a(b+c)}{8}\geqslant \frac{3a}{4}$

 

Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được

 

$VT+\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}{8}\geqslant \frac{3(a+b+c)}{4}$

 

$\Leftrightarrow VT\geqslant \frac{9}{4}-\frac{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}{8}\geqslant \frac{9}{4}-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$

 

(do $a+b+c=3$)

 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 19-05-2014 - 20:43


#3 BysLyl

BysLyl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 19-05-2014 - 20:46

$\frac{a}{ab+3c}=\frac{a}{ab+ac+bc+c^{2}}=\frac{a}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{4a}{(a+b+2c)^{2}}=\frac{4a}{(c+3)^{2}}$

Cm tương tự $\Rightarrow VT=\frac{4a}{(c+3)^{2}}+\frac{4b}{(a+3)^{2}}+\frac{4c}{(b+3)^{2}}$

Áp dụng BĐT Bunhia:

$\left [ \frac{a}{(c+3)^{2}}+\frac{b}{(a+3)^{2}}+\frac{c}{(b+3)^{2}} \right ](a+b+c)\geq \left ( \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3} \right )^{2}\geq \left ( \frac{9}{a+b+c+3} \right )^{2}=\frac{9}{16} \Leftrightarrow VT\geq \frac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

P/s: có đúng không vậy??  :(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 19-05-2014 - 20:57

_Be your self- Live your life_  :rolleyes: 


#4 lovemathforever99

lovemathforever99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 19-05-2014 - 20:47

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$

VT= $\frac{a^{2}}{a^{2}b+3ca}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+3ab}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+3bc}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3(ab+bc+ca)}$(1)

 

C/m được $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

 

Thay vào (1)

$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}\geq \frac{3^{2}}{3^{2}+\frac{3^{2}}{3}}=\frac{3}{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 19-05-2014 - 20:49

                                                 ''Chúa không chơi trò xúc xắc.''

Albert Einstein


#5 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 19-05-2014 - 21:06

$\frac{a}{ab+3c}=\frac{a}{ab+ac+bc+c^{2}}=\frac{a}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{4a}{(a+b+2c)^{2}}=\frac{4a}{(c+3)^{2}}$

Cm tương tự $\Rightarrow VT=\frac{4a}{(c+3)^{2}}+\frac{4b}{(a+3)^{2}}+\frac{4c}{(b+3)^{2}}$

Áp dụng BĐT Bunhia:

$\left [ \frac{a}{(c+3)^{2}}+\frac{b}{(a+3)^{2}}+\frac{c}{(b+3)^{2}} \right ](a+b+c)\geq \left$$ ( \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3} \right )^{2}\geq \left ( \frac{9}{a+b+c+3} \right )^{2}=\frac{9}{16} $$\Leftrightarrow VT\geq \frac{3}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

P/s: có đúng không vậy??  :(

Chỗ này Bunhia nhầm sửa lun

thành $\sum \frac{a}{c+3}=\sum \frac{a^{2}}{ac+3a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum ab+9}\geq ...$


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh