Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$
Có
$VT=\sum \frac{a}{(a+c)(b+c)}$
Áp dụng BĐT $AM-GM$ có
$\frac{a}{(a+c)(b+c)}+\frac{a(a+c)}{8}+\frac{a(b+c)}{8}\geqslant \frac{3a}{4}$
Tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế thu được
$VT+\frac{a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ac)}{8}\geqslant \frac{3(a+b+c)}{4}$
$\Leftrightarrow VT\geqslant \frac{9}{4}-\frac{(a+b+c)^2+ab+bc+ac}{8}\geqslant \frac{9}{4}-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$
(do $a+b+c=3$)
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lahantaithe99: 19-05-2014 - 20:43
$\frac{a}{ab+3c}=\frac{a}{ab+ac+bc+c^{2}}=\frac{a}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{4a}{(a+b+2c)^{2}}=\frac{4a}{(c+3)^{2}}$
Cm tương tự $\Rightarrow VT=\frac{4a}{(c+3)^{2}}+\frac{4b}{(a+3)^{2}}+\frac{4c}{(b+3)^{2}}$
Áp dụng BĐT Bunhia:
$\left [ \frac{a}{(c+3)^{2}}+\frac{b}{(a+3)^{2}}+\frac{c}{(b+3)^{2}} \right ](a+b+c)\geq \left ( \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3} \right )^{2}\geq \left ( \frac{9}{a+b+c+3} \right )^{2}=\frac{9}{16} \Leftrightarrow VT\geq \frac{3}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
P/s: có đúng không vậy??
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buiminhhieu: 19-05-2014 - 20:57
_Be your self- Live your life_
Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
$\frac{a}{ab+3c}+\frac{b}{bc+3a}+\frac{c}{ca+3b}\geq \frac{3}{4}$
VT= $\frac{a^{2}}{a^{2}b+3ca}+\frac{b^{2}}{b^{2}c+3ab}+\frac{c^{2}}{c^{2}a+3bc}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+3(ab+bc+ca)}$(1)
C/m được $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$
$\Rightarrow a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Thay vào (1)
$VT\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3(ab+bc+ca)}=\frac{(a+b+c)^{2}}{(a+b+c)^{2}+ab+bc+ca}\geq \frac{3^{2}}{3^{2}+\frac{3^{2}}{3}}=\frac{3}{4}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lovemathforever99: 19-05-2014 - 20:49
''Chúa không chơi trò xúc xắc.''
Albert Einstein
$\frac{a}{ab+3c}=\frac{a}{ab+ac+bc+c^{2}}=\frac{a}{(a+c)(b+c)}\geq \frac{4a}{(a+b+2c)^{2}}=\frac{4a}{(c+3)^{2}}$
Cm tương tự $\Rightarrow VT=\frac{4a}{(c+3)^{2}}+\frac{4b}{(a+3)^{2}}+\frac{4c}{(b+3)^{2}}$
Áp dụng BĐT Bunhia:
$\left [ \frac{a}{(c+3)^{2}}+\frac{b}{(a+3)^{2}}+\frac{c}{(b+3)^{2}} \right ](a+b+c)\geq \left$$ ( \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3} \right )^{2}\geq \left ( \frac{9}{a+b+c+3} \right )^{2}=\frac{9}{16} $$\Leftrightarrow VT\geq \frac{3}{4}$
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
P/s: có đúng không vậy??
Chỗ này Bunhia nhầm sửa lun
thành $\sum \frac{a}{c+3}=\sum \frac{a^{2}}{ac+3a}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum ab+9}\geq ...$
Chuyên Vĩnh Phúc
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh