Chủ đề này có 3 trả lời

[ducbau007]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn a+b+c=1

  Tìm Min của P=$\frac{9}{1-2(ab+bc+ca)}+\frac{2}{abc}$

[Johan Liebert]

$P=\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2(a+b+c)}{abc}=\dfrac{9(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}$

 

$\leftrightarrow P=9+\dfrac{18ab+18bc+18ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}$

 

$\leftrightarrow P \geq 9+\dfrac{18(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{18}{ab+bc+ca}$

 

$\leftrightarrow P \geq  9+\dfrac{18(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{18(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$

 

$\leftrightarrow P \geq 9+\dfrac{18(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{18(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+36 \geq 9+36+36=81$

 

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}$

 

[Super Fields]

$P=\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2(a+b+c)}{abc}=\dfrac{9(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}$

 

$\leftrightarrow P=9+\dfrac{18ab+18bc+18ca}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}$

 

$\leftrightarrow P \geq 9+\dfrac{18(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{18}{ab+bc+ca}$

 

$\leftrightarrow P \geq  9+\dfrac{18(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{18(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$

 

$\leftrightarrow P \geq 9+\dfrac{18(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{18(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+36 \geq 9+36+36=81$

 

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Tương đương à!! Sao thêm cục $36$ vào được vậy ???? 

[Johan Liebert]

Tương đương à!! Sao thêm cục $36$ vào được vậy ???? 

$\dfrac{18(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}=\dfrac{18(a^2+b^2+c^2)+36(ab+bc+ca)}{ab+bc+ca}=\dfrac{18(a^2+b^2+c^2)}{ab+bc+ca}+36$