Chủ đề này có 3 trả lời

[ducbau007]

Cho x,y,z,t là các số thực dương thoả mãn xy+zt=8

  Tìm Min P=$\frac{\sum x^{5}}{\sum x^{3}}$

[Johan Liebert]

$x^5+x^5+x^5+32+32 \geq 20x^3$( bất đẳng thức AM-GM)

 

Tương tự cộng từng vế 

 

$\rightarrow 3(x^5+y^5+z^5+t^5)+256 \geq 20(x^3+y^3+z^3+t^3)$

 

Lại có theo bất đẳng thức Holder

 

$8^3=(xy+zt)^3 \leq (x^3+z^3)(y^3+t^3).(1^3+1^3) \leq \dfrac{(x^3+y^3+z^3+t^3)^2}{4}.2$

 

$\leftrightarrow x^3+y^3+z^3+t^3 \geq 32$

 

$\leftrightarrow 3(x^5+y^5+z^5+t^5) \geq 20(x^3+y^3+z^3+t^3)-256 \geq 12(x^3+y^3+z^3+t^3)$

 

$\leftrightarrow P \geq \dfrac{x^5+y^5+z^5+t^5}{x^3+y^3+z^3+t^3} \geq \dfrac{1}{4}$

 

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=z=t=2$

 

[ducbau007]

bạn thử làm cách không sử dụng bdt holder xem sao( cái này cấp 3 mới học)

[Johan Liebert]

bạn thử làm cách không sử dụng bdt holder xem sao( cái này cấp 3 mới học)

Tùy bạn thôi. Nhưng mà đúng là dùng Holder bài này cũng không cần

 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM

 

$x^3+y^3+8 \geq 6xy$

 

$z^3+t^3+8 \geq 6zt$

 

$\leftrightarrow x^3+y^3+z^3+t^3 \geq 6(xy+zt)-16=32$

 

Được chưa bạn