Chủ đề này có 1 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 & \\ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\sqrt{2-a^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{a^{2}}}+\frac{a^{2}+1}{a} & \end{matrix}\right.$. Tìm a để hệ pt có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn x; y > 0.

 

[Tran Nguyen Lan 1107]

Cho hệ pt: $\left\{\begin{matrix} x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 & \\ x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}=\sqrt{2-a^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{a^{2}}}+\frac{a^{2}+1}{a} & \end{matrix}\right.$. Tìm a để hệ pt có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn x; y > 0.

Do x,y >0 ta có $x+\frac{1}{x}\geq 2,y+\frac{1}{y}\geq 2$

=> $x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 4$

Dấu bằng xảy ra khi x=y=1

Thế vào pt (2) ta có $\sqrt{2-a^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{a^{2}}}+\frac{a^{2}+1}{a}=4$

Ta có $(\sqrt{2-a^{2}}+a)^{2}\leq 4=>\sqrt{2-a^{2}}+a\leq 4$

$(\sqrt{2-\frac{1}{a^{2}}}+\frac{1}{a})^{2}\leq 4=>\sqrt{2-\frac{1}{a^{2}}}+\frac{1}{a}\leq 2$

Suy ra $\sqrt{2-a^{2}}+\sqrt{2-\frac{1}{a^{2}}}+a+\frac{1}{a}\leq 4$

Dấu bằng xảy ra <=> a=1