Chủ đề này có 6 trả lời

[hoctrocuaZel]

1. Cho n tự nhiên lớn hơn 1.

CMR: $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<\frac{3}{4}$

2. (giải ra rồi): 

Cho a,b,c dương. a+b+c=3/2.

Tìm Min :A=$a+b+c+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

giải ra bài 2 rồi nhưng hơi dài, ai có cách ngắn hơn kg?

[einstein627]

 

2. (giải ra rồi): 

Cho a,b,c dương. a+b+c=3/2.

Tìm Min :A=$a+b+c+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 3 số dương ta có

$\frac{1}{a^{2}}+8a+8a\geq 12$

$\frac{1}{b^{2}}+8b+8b\geq 12$

$\frac{1}{c^{2}}+8c+8c\geq 12$

Cộng từng vế 3 bdt trên ta có Min A=13.5 đẳng thức sảy ra khi a=b=c=1/2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi einstein627: 25-05-2014 - 11:27

[bestmather]

einstein627 hơi nhầm thì phải

A còn có cả a+b+c nữa mà.... =) Min A= 13,5

[nguyenhongsonk612]

1. Cho n tự nhiên lớn hơn 1.

CMR: $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<\frac{3}{4}$

2. (giải ra rồi): 

Cho a,b,c dương. a+b+c=3/2.

Tìm Min :A=$a+b+c+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

giải ra bài 2 rồi nhưng hơi dài, ai có cách ngắn hơn kg?

Thử cách này xem ngắn hơn k?

Bài 2:

Giải:

Ta có:

$\frac{3}{2}=a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow \sqrt[3]{a^2b^2c^2}\leq \frac{1}{4}$

$\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}= \frac{3}{2}+12=\frac{27}{2}$

Vậy Min $A= \frac{27}{2}$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 21-05-2014 - 13:44

[mnguyen99]

1. Cho n tự nhiên lớn hơn 1.

CMR: $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<\frac{3}{4}$

2. (giải ra rồi): 

Cho a,b,c dương. a+b+c=3/2.

Tìm Min :A=$a+b+c+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$

giải ra bài 2 rồi nhưng hơi dài, ai có cách ngắn hơn kg?

Đặt  S(n)=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$

Rõ ràng với n cangf lớn thì S(n) càng lớn

với n=4 và 3 bđt đúng

Giả sử k đúng cần CM khi n=k+1 $\Rightarrow S(k)< \frac{3}{4}$

NÊn đẻ sử dụng quy nạp thì VT cần cang lớn khi n cạng lơn n ko vượt 3/4.

Vì vậy ta cần tìm x để:

S(k)$\leq \frac{3}{4}-\frac{x}{k}$

x cần thỏa các đk 

+ĐK 1: quy nạo từ n sang n+1 th được

+ĐK 2: đúng với 1 số gt đầu .

*Xét đk 1

S(k+1)=S(k)+ $\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}$$< \frac{3}{4}-\frac{x}{k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}$                                  (Đay là đoạn ta đang tìm x)

ta cần CM $S(k+1)< \frac{3}{4}-\frac{x}{k+1}$

do đó $\frac{-x}{k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< -\frac{x}{k+1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< \frac{x}{k(k+1)}$

$\Leftrightarrow k(4x-1)+2x> 0$

bđt trên đúng khi x=1/4

Chọn điểm xp từ điểm n=4

bđt đúng khi n=k$\Rightarrow S(k)< \frac{3}{4}-\frac{1}{4k}$

Cần CM $S(k+1)< \frac{3}{4}-\frac{1}{4(k+1)}$

Theo phần trên thì $-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< -\frac{1}{4(k+1)}$

Mà S(k+1)=S(k)$\frac{3}{4}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< \frac{3}{4}-\frac{1}{4(k+1)}$

Bđt đúng.

ps:BẠi này hay thiệt mà dài kinh khủng.

[hoctrocuaZel]

Đặt  S(n)=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$

Rõ ràng với n cangf lớn thì S(n) càng lớn

với n=4 và 3 bđt đúng

Giả sử k đúng cần CM khi n=k+1 $\Rightarrow S(k)< \frac{3}{4}$

NÊn đẻ sử dụng quy nạp thì VT cần cang lớn khi n cạng lơn n ko vượt 3/4.

Vì vậy ta cần tìm x để:

S(k)$\leq \frac{3}{4}-\frac{x}{k}$

x cần thỏa các đk 

+ĐK 1: quy nạo từ n sang n+1 th được

+ĐK 2: đúng với 1 số gt đầu .

*Xét đk 1

S(k+1)=S(k)+ $\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}$$< \frac{3}{4}-\frac{x}{k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}$                                  (Đay là đoạn ta đang tìm x)

ta cần CM $S(k+1)< \frac{3}{4}-\frac{x}{k+1}$

do đó $\frac{-x}{k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< -\frac{x}{k+1}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< \frac{x}{k(k+1)}$

$\Leftrightarrow k(4x-1)+2x> 0$

bđt trên đúng khi x=1/4

Chọn điểm xp từ điểm n=4

bđt đúng khi n=k$\Rightarrow S(k)< \frac{3}{4}-\frac{1}{4k}$

Cần CM $S(k+1)< \frac{3}{4}-\frac{1}{4(k+1)}$

Theo phần trên thì $-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< -\frac{1}{4(k+1)}$

Mà S(k+1)=S(k)$\frac{3}{4}-\frac{1}{4k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}< \frac{3}{4}-\frac{1}{4(k+1)}$

Bđt đúng.

ps:BẠi này hay thiệt mà dài kinh khủng.

Mình có cách giải này này!

CM tổng quát: $\frac{1}{n+k}+\frac{1}{n+(n+1-k)}< \frac{3}{2k} \Rightarrow VT\leq \frac{1}{4}.(\frac{1}{n}+\frac{1}{k}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{1-k})<\frac{3}{2k} (đúng)$

Rồi áp dụng vs k=1;2;..;n.

Sau đó cộng vế theo vế, chia 2 là ra

[tuananh2000]

Đặt $A=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{2n}$ thì $A=\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n-1}+...+\frac{1}{n+1} \Rightarrow$ $2A=(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n})+(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{2n 1})+...+(\frac{1}{2n}+\frac{1}{n+1})$.Ta sẽ c/m rằng với $0<k+1<n$  thì  $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n}>$ $\frac{1}{n+1+k}+\frac{1}{2n-k} \Leftrightarrow$ $\frac{3n+1}{(n+1)2n}>$$\frac{3n+1}{(n+k+1)(2n-k)}  \Leftrightarrow$ $(n+1)2n< (n+k+1)(2n-k) \Leftrightarrow$ $nk+k^2+k<2nk \Leftrightarrow$  $n+k+1<2n \Leftrightarrow$  $k+1<n$ (đúng). Từ đó có $2A<(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n}).n=  \frac{(3n+1)n}{(n+1)2n}=\frac{3n+1}{2n+2}<\frac{3}{2}$ nên $A<\frac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuananh2000: 25-05-2014 - 09:12