Chủ đề này có 5 trả lời

[Mai Pham]

Cho x, y, z >0 thỏa mãn $x + y + z = 6$. Tìm min, max $xy + yz + zx - 2xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mai Pham: 21-05-2014 - 17:17
$\LaTeX$

[Chris yang]

không có thêm đk j` à bạn

[Nguyen Tang Sy]

theo mình x,y,z dương

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq  \frac{9}{x+y+z} = \frac{3}{2}$

suy ra: $xy+yz+zx \geq \frac{3xyz}{2}$

       $\Rightarrow \frac{4(xy+yz+zx))}{3} \geq 2xyz$

do đó: $xy+yz+zx -2xyz \geq xy+yz+zx -  \frac{4(xy+yz+zx))}{3} =  \frac{-(xy+yz+zx)}{3} \geq \frac{-(x+y+z)^2}{9} = -4 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Tang Sy: 21-05-2014 - 12:56

[anh1999]

theo mình x,y,z dương

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geq  \frac{9}{x+y+z} = \frac{3}{2}$

suy ra: $xy+yz+zx \geq \frac{3xyz}{2}$

       $\Rightarrow \frac{4(xy+yz+zx))}{3} \geq 2xyz$

do đó: $xy+yz+zx -2xyz \geq xy+yz+zx -  \frac{4(xy+yz+zx))}{3} =  \frac{-(xy+yz+zx)}{3} \geq \frac{-(x+y+z)^2}{9} = -4 $

đề đâu cho dương mà mình nghĩ đề thiếu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 21-05-2014 - 13:04

[Mai Pham]

sorry các bạn, mình ghi thiếu đề

[Oral1020]

Đề bài phải là $x;y;z \ge 0$ chứ bạn

Spoiler

Giải:

Không mất tính tổng quát giả sử $x \ge y \ge z$

$\Rightarrow 3x \ge x+y+z =6$

$\Rightarrow x \ge 2$

Mặt khác do $x;y;z \ge 0$

$\Rightarrow x \le 6$

$\Rightarrow x \in [2;6]$

Ta có:

$xy+yz+xz-2xyz=x(y+z-2yz)+yz$

Xét $f(x)=x(y+z-2yz)+yz$ là hàm số bậc nhất.

Ta lại có:

$x=6 \rightarrow y=z=0$

$\Rightarrow f(6)= 0$

$x =2 \rightarrow y=z=2$

$\Rightarrow f(2)=-4$

Từ đó ta suy ra

$\f(6) \ge f(x) \ge f(2)$

$\Rightarrow 0 \ge f(x) \ge -4$