Chủ đề này có 3 trả lời

[Simpson Joe Donald]

Cho a, b, c là các số thực nhỏ hơn 1. Chứng minh: $a^2+b^2+c^2 \leq a^2b+b^2c+c^2a+1$ 

[megamewtwo]

bài này chỉ đúng với $x\subset \left [ 0;1 \right ]$

chứ không đúng với các số thực nhỏ hơn 1 đâu

[megamewtwo]

Ta có :$0\geq \left ( a-1 \right )\left ( b-1 \right )\left ( c-1 \right ) = abc-1-a\left ( b-1 \right )-b\left ( c-1 \right )-c\left ( a-1 \right )\geq -1+a^{2}\left ( 1-b \right )+b^{2}\left ( 1-c\right )+c^{2}\left ( 1-a \right )$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a+1$            

[yeutoan2604]

Ta có $a(1-b)\geq a^{2}(1-b);b(1-c)\geq b^{2}(1-c);a(1-c)\geq c^{2}(1-c)$

$\Rightarrow (\sum a^{2})-(\sum a^{2}b)\leq \sum a(1-b)\Rightarrow (\sum a^{2})-(\sum a^{2}b)\leq (\sum a)-(\sum ab)$

Mà: $(1-a)(1-b)(1-c)+abc\geq 0\Rightarrow 1\geq (\sum a)-(\sum ab)$

Vậy $\sum a^{2}\leq 1+\sum a^{2}b$

Đăng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ trong ba số có một số bằng 0 , một số bằng 1