Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 22 trả lời

#1
megakill1994

megakill1994

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Bài 1: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x2+y2+6z2=4z(x+y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn (x2+y2+1)2+3x2y2+1=4x2+5y2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab+a+b=3

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\leq a^2+b^2+\frac{3}{2}$

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác có chu vi bằng 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$

 

@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 22-05-2014 - 01:22


#2
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Bài 1: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x2+y2+6z2=4z(x+y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn (x2+y2+1)2+3x2y2+1=4x2+5y2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab+a+b=3

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\leq a^2+b^2+\frac{3}{2}$

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác có chu vi bằng 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$

 

@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề

Bài 3:Đặt $s=a+b,p=ab$,điều kiện:$s,p>0$

Từ giả thiết ta có:$s+p=3$ $\Leftrightarrow$ $p=3-s$ $(1)$

Áp dụng Côsi ta có:$s^2 \geq 4p$ nên từ $(1)$  $\Rightarrow$ $3-s \leq \frac{s^2}{4}$ $\Rightarrow$ $s \geq 2$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

                              $\frac{3s^2+3s-6p}{s+p+1} +\frac{p}{s} \leq s^2-2p+\frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow$   $\frac{3s^2+9s-18}{4} +\frac{3-s}{s} -s^2-2s=\frac{9}{2} \leq 0$.Do $(1)$

$\Leftrightarrow$   $s^3-s^2+4s-12 \geq 0$

$\Leftrightarrow$   $(s-2)(s^2+s+6) \geq 0$ luôn đúng với mọi $s \geq 2$

Bài này có thể làm bằng cách đưa về 1 biến và sử dụng đạo hàm.

Bài 4:đặt                  $\left\{\begin{matrix}x=a+b-c \\ y=b+c-a \\ z=c+a-b \\ a+b+c=3 \end{matrix}\right.$

    $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}b=\frac{x+y}{2} \\ a=\frac{y+z}{2} \\ c=\frac{z+x}{2} \\x+y+z=3 \end{matrix}\right.$

Khi đó biểu thức $P$ trở thành $P=\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}$

Áp dụng Cauchy-Schwars ta có:$P=\frac{x^4}{xy+zx}+\frac{y^4}{yz+xy}+\frac{z^4}{zx+yz} \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(xy+yz+zx)}$

                                                                                                                                        $\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{2}$ (Vì$xy+yz+zx \leq x^2+y^2+z^2$)

                                                                                                                                        $\geq \frac{(x+y+z)^2}{6}$(Vì $x^2+y^2+z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$)

                                                                                                                                        $=\frac{9}{6}.$

Vậy:$MinP=\frac{3}{2}$.Dấu $"="$ xẩy ra  $\Leftrightarrow$ $x=y=z=a=b=c=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 28-05-2014 - 17:55


#3
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Bài 1: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x2+y2+6z2=4z(x+y)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^3}{y(x+z)^2}+\frac{y^3}{x(y+z)^2}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}$

Bài 2: Cho các số thực x,y thỏa mãn (x2+y2+1)2+3x2y2+1=4x2+5y2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^2+2y^2-3x^2y^2}{x^2+y^2+1}$

Bài 3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ab+a+b=3

Chứng minh rằng: $\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}+\frac{ab}{a+b}\leq a^2+b^2+\frac{3}{2}$

Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh tam giác có chu vi bằng 3.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{(a+b-c)^3}{2c}+\frac{(b+c-a)^3}{2a}+\frac{(c+a-b)^3}{2b}$

 

@Mod: Chú ý cách đặt tiêu đề

Bài 1:nhìn vào giả thiết ta thấy hai biến $x,y$ có vai trò đối xứng nhau,con biến $z$ có vai trò không đối xứng.

điều này gợi ý cho ta đưa bài toán đã cho về bài toán mới với 2 biến có vai trò đối xứng nhau,loại bỏ đi 1 biến thừa không cần thiết.

Đặt: $x=az,y=bz$,$a,b \in R^+$.Thay vào giả thiết ta có:$a^2+b^2+6=4(a+b)$.

Áp dụng Côsi ta có: $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2 \geq \frac{(a+b)^2}{2} \\ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \end{matrix}\right.$

      $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \frac{(a+b)^2}{2} \leq 4(a+b) -6 \\ ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \end{matrix}\right.$

      $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 2 \leq a+b \leq 6 \\ ab \leq 2(a+b)-3 \end{matrix}\right.$

Khi đó,ta có: $P=\frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{b^3}{a(b+1)^2}+\sqrt{a^2+b^2} \geq \frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{b^3}{a(b+1)^2} +\sqrt{\frac{(a+b)^2}{2}}$

$\geq \frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{b^3}{a(b+1)^2} +\sqrt{2}$

Tiếp tục áp dụng Côsi,ta có : $\frac{a^3}{b(a+1)^2}+\frac{a+1}{8}+\frac{ab+b}{8}\geqslant \frac{3a}{4}$

                                              $\frac{b^3}{a(b+1)^2}+\frac{b+1}{8}+\frac{ab+a}{8}\geqslant \frac{3b}{4}$

Cộng theo vế các bất dẳng thức trên ta có:

$P \geq \frac{a+b}{2}-\frac{ab}{4}-\frac{1}{4}+\sqrt{2} \geq \frac{a+b}{2}-\frac{2(a+b)-3}{4}-\frac{1}{4}+\sqrt{2} \geq \frac{1}{2}+\sqrt{2}$

Vậy,$MinP =\frac{1}{2}+\sqrt{2}$.Dấu $"="$  xẩy ra $\Leftrightarrow$ $a=b=1$,hay $x=y=z>0$

Một số bài toán có ý tưởng dặt ẩn phụ tương tự:

$1):$Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn $x(x+y+z)=3yz$.Chứng minh rằng:$(x+y)^3+(x+z)^3+3(x+y)(x+z)(y+z) \leq 5(y+z)^3$(Khối A-2009)

$2):$Chứng minh rằng với mọi số thực không âm $x,y,z$ ta luôn có:$(x+2y+z)(x+y+z)^2 \geq 4(x+y)(y+z)(z+x)$

Bài 2:Theo giả thiết ta có: $(x^2+y^2+1)^2+3x^2y^2+1=4x^2+5y^2$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}y^2 - 3x^2y^2 = (x^2 + y^2 + 1)^{2} - 4(x^2 + y^2 + 1) + 5 \\(x^2 + y^2 + 1)^{2} - 5(x^2 + y^2 + 1) + 6 = - x^2 - 3x^2y^2 \leq 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}y^2 - 3x^2y^2 = (x^2 + y^2 + 1)^{2} - 4(x^2 + y^2 + 1) + 5 \\ 2 \leq (x^2 + y^2 + 1) \leq 3 \end{matrix}\right.$

Ta có: $P=\frac{(x^2+y^2+1)+(y^2-3x^2y^2)-1}{x^2+y^2+1}$

               $=\frac{(x^2+y^2+1)^2-3(x^2+y^2+1)+4}{x^2+y^2+1}$

Đặt: $t=x^2+y^2+1,(2 \leq t \leq 3)$.Khi đó $P$ trở thành:$P=\frac{t^2-3t+4}{t}$

Xét hàm số:$f(t)=\frac{t^2-3t+4}{t},t \in [2;3]$.

   Ta có: $f'(t) =1- \frac{4}{t^2};f'(t)=0$ $\Leftrightarrow$ $t=2 \in [2;3]$

mà $f'(t) \geq 0$ với mọi $t \in [2;3]$.Suy ra,$f(t)$ đồng biến trên $[2;3]$.

Suy ra,$MinP=Minf(t)_{t \in [2;3]} =f(2) =1$,đạt được khi $x=0,y= \pm 1$

           $MaxP =Maxf(t)_{t \in [2;3]} =f(3) =\frac{4}{3}$,đạt được khi $x=0,y=\pm \sqrt{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 28-05-2014 - 17:53


#4
megakill1994

megakill1994

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Cảm ơn bạn nhiều nha. Mình đang cố gắng luyện thêm bất đẳng thức ôn thi đại học mà tình hình là nó rất khó :D



#5
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Cảm ơn bạn nhiều nha. Mình đang cố gắng luyện thêm bất đẳng thức ôn thi đại học mà tình hình là nó rất khó :D

Cái gì mới đầu mà chả khó,cứ tiếp xúc cọ sát nhiều rồi dần dần khó cũng thành dễ thôi :wub:



#6
megakill1994

megakill1994

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Cái gì mới đầu mà chả khó,cứ tiếp xúc cọ sát nhiều rồi dần dần khó cũng thành dễ thôi :wub:

Biết là thế, nhưng vấn đề luyện tập gặp nhiều vấn đề. Còn bài này thì làm như thế nào bạn

Cho x,y là các số dương sao cho: x3+y3=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^2+y^2-1}{(1-x)(1-y)}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megakill1994: 25-05-2014 - 21:14


#7
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Biết là thế, nhưng vấn đề luyện tập gặp nhiều vấn đề. Còn bài này thì làm như thế nào bạn

Cho x,y là các số dương sao cho: x3+y3=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{x^2+y^2-1}{(1-x)(1-y)}$

Mình đưa ra hướng giải quyết,còn đoạn cuối bạn tự làm nhá

Theo giả thiết ta có $x^3+y^3=1$ $\Leftrightarrow$ $(x+y)[(x+y)^2-3xy]=1$.( đối với các bài toán mà giả thiết cho có chứa cả hai thành phần $x+y$$xy$ như thế này thì ta cứ đặt $t=x+y$ sau đó biểu diễn thành phần $xy$ theo $t$ nha).

Đặt :$t=x+y,t >1$.Thay vào giả thiết ta có $xy=\frac{t^3-1}{3t}$

Áp dụng Côsi ta có:$xy \leq \frac{(x+y)^2}{4}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{t^3-1}{3t} \leq \frac{t^2}{4}$ $\Leftrightarrow$ $t^3 \leq 4$

$\Leftrightarrow$ $ 1 <t\leq \sqrt[3]{4}$.

Ta có:$P=\frac{x^2+y^2-1}{(1-x)(1-y)} =\frac{(x+y)^2-2xy-1}{1-(x+y)+xy} =\frac{t^2-2\frac{t^3-1}{3t}-1}{1-t+\frac{t^3-1}{3t}}$

$=\frac{t^3-3t+2}{t^3-3t^2+3t-1}=\frac{(t+2)(t-1)^2}{(t-1)^3}=1+\frac{3}{t-1}$

Xét hàm số:$f(t)=1+\frac{3}{t-1}$ trên $(1;\sqrt[3]{4}]$

đến đây bạn chỉ cần khảo sát hàm $f(t)$ trên miền đang xét là ra kết qủa bài toán

Kết quả của mình là bài toán đạt $Min$ tại $t=\sqrt[3]{4}$ và khi đó $MinP=f(\sqrt[3]{4})$.

Ok! ^_^


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 28-05-2014 - 21:41


#8
megakill1994

megakill1994

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Mình đưa ra hướng giải quyết,còn đoạn cuối bạn tự làm nhá

Theo giả thiết ta có $x^3+y^3=1$ $\Leftrightarrow$ $(x+y)[(x+y)^2-3xy]=1$.( đối với các bài toán mà giả thiết cho có chứa cả hai thành phần $x+y$$xy$ như thế này thì ta cứ đặt $t=x+y$ sau đó biểu diễn thành phần $xy$ theo $t$ nha).

Đặt :$t=x+y$.Thay vào giả thiết ta có $xy=\frac{t^3-1}{3t}$

Áp dụng Côsi ta có:$xy \leq \frac{(x+y)^2}{4}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{t^3-1}{3t} \leq \frac{t^2}{4}$ $\Leftrightarrow$ $t^3 \leq 4$

$\Leftrightarrow$ $ 0 <t\leq \sqrt[3]{4}$.

Ta có:$P=\frac{x^2+y^2-1}{(1-x)(1-y)} =\frac{(x+y)^2-2xy-1}{1-(x+y)+xy} =\frac{t^2-2\frac{t^3-1}{3t}-1}{1-t+\frac{t^3-1}{3t}}$

$=\frac{t^3-3t+2}{t^3-3t^2+3t-1}=\frac{(t+2)(t-1)^2}{(t-1)^3}=1+\frac{3}{t-1}$

Xét hàm số:$f(t)=1+\frac{3}{t-1}$ trên $(0;\sqrt[3]{4}]$

đến đây bạn chỉ cần khảo sát hàm $f(t)$ trên miền đang xét là ra kết qủa bài toán

Kết quả của mình là bài toán đạt $Min$ tại $t=\sqrt[3]{4}$ và khi đó $MinP=f(\sqrt[3]{4})$.

Ok! ^_^

Cảm ơn bạn nha, bạn có thể chia sẽ 1 số kinh nghiệm về giải bất đẳng thức không  :wub:



#9
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Cái gì mới đầu mà chả khó,cứ tiếp xúc cọ sát nhiều rồi dần dần khó cũng thành dễ thôi :wub:

Đấy,đây chính là kinh nghiệm :P

Kinh nghiệm phải do chính bạn tìm ra trong quá trình học tập thì nó mới bền vững được.

Cách đây 1 năm mình cũng giống như bạn bây giờ thôi.Nên bạn cứ yên tâm một điều là nếu bạn yêu thích và tiếp xúc với bất đẳng thức mỗi ngày thì bạn sẽ học tốt dần lên thôi.

Bạn không thấy trong những bài toán mình đã làm bên trên chứa biết bao là kinh nghiệm sao?

Nhiệm vụ của bạn là ghi chép những kinh nghiệm đó vào một cuốn sổ.Mỗi ngày ghi một vài kinh  nghiệm,dần dần bạn sẽ có cả một kho tàng kinh nghiệm.Hehe



#10
megakill1994

megakill1994

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Đấy,đây chính là kinh nghiệm :P

Kinh nghiệm phải do chính bạn tìm ra trong quá trình học tập thì nó mới bền vững được.

Cách đây 1 năm mình cũng giống như bạn bây giờ thôi.Nên bạn cứ yên tâm một điều là nếu bạn yêu thích và tiếp xúc với bất đẳng thức mỗi ngày thì bạn sẽ học tốt dần lên thôi.

Bạn không thấy trong những bài toán mình đã làm bên trên chứa biết bao là kinh nghiệm sao?

Nhiệm vụ của bạn là ghi chép những kinh nghiệm đó vào một cuốn sổ.Mỗi ngày ghi một vài kinh  nghiệm,dần dần bạn sẽ có cả một kho tàng kinh nghiệm.Hehe

 

Cảm ơn bạn: 
bạn có thể hướng dẫn mình cách làm của một số bài này nữa không?

Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $6(a^2+b^2)+20ab=5(a+b)(ab+3)$

TÌm Min:  $P=9(\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4})-16(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3})+25(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

Bài 2: cho các số thưc dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$



#11
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Cảm ơn bạn: 
bạn có thể hướng dẫn mình cách làm của một số bài này nữa không?

Bài 1: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn $6(a^2+b^2)+20ab=5(a+b)(ab+3)$

TÌm Min:  $P=9(\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4})-16(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3})+25(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

Bài 2: cho các số thưc dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}}-\frac{2}{(a+1)(b+1)(c+1)}$

Bài 1:Theo giả thiết ta có:$6(a^2+b^2)+20ab=5(a+b)(ab+3)$ $\Leftrightarrow$ $6(a^2+b^2)+20ab=5ab(a+b)+15(a+b)$

$\Leftrightarrow$ $6\frac{a^2+b^2}{ab}+20=5(a+b)+15\frac{a+b}{ab}$ $\Leftrightarrow$ $6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+20=5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$.

Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a},t \geq 2$,ta có:$6t+20=5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Áp dụng Côsi ta có:$5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 2\sqrt{75(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=2\sqrt{75(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}=2\sqrt{75(t+2)}$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 3t+10 \geq \sqrt{75(t+2)} \\ t \geq 2 \end{matrix}\right.$. $\Leftrightarrow$ $t \geq \frac{10}{3}$.

Ta có:$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=t^2-2$

         $\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3}=t^3-3t$

         $\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4}=t^4-4t^2+2$

Suy ra:$P=9(\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4})-16(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3})+25(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

               $=9(t^4-4t^2+2)-16(t^3-3t)+25(t^2-2)=9t^4-16t^3-11t^2+48t-32=f(t)$

Xét hàm số $f(t)=9t^4-16t^3-11t^2+48t-32$ trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ ta có:

$f'(t)=36t^3-48t^2-22t+48$

$f''(t)=108t^2-96t-22$

$f'''(t)=216t-96$

Ta có:$f'''(t)=216t-96 \geq 624 >0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Suy ra,hàm $f''(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ $\Rightarrow$ $f''(t) > 0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3} $

Suy ra,hàm $f'(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ $\Rightarrow$ $f'(t) > 0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Suy ra,hàm $f(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$

Suy ra: $f(t) \geq f(\frac{10}{3})=\frac{14156}{27}$,với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Vậy,$MinP=\frac{14156}{27}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 5(a+b)=15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{10}{3} \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} ab=3 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{10}{3} \end{matrix}\right.$. $\Leftrightarrow$ $(a;b)=(1;3)$ hoặc $(a;b)=(3;1)$

Bài 2:bạn xem tại đây http://diendantoanho...21-frac2a1b1c1/


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 28-05-2014 - 17:54


#12
megakill1994

megakill1994

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Với bài này thì sao bạn:

Cho các số thực dương x, y, z thõa: x+y+z=3

Tìm min : $P=\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)}+\frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^3}+4y-2)}+\frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^3}+4z-2)}$

Mình biến đổi tới: $P\geq \frac{x}{y(y^2+x))}+\frac{y}{z(z^2+y)}+\frac{z}{x(x^2+z)}$ thì chẳng biết lám sao nữa. 

Xác định cái bước tiếp theo để làm khó quá  :(



#13
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Với bài này thì sao bạn:

Cho các số thực dương x, y, z thõa: x+y+z=3

Tìm min : $P=\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)}+\frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^3}+4y-2)}+\frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^3}+4z-2)}$

Mình biến đổi tới: $P\geq \frac{x}{y(y^2+x))}+\frac{y}{z(z^2+y)}+\frac{z}{x(x^2+z)}$ thì chẳng biết lám sao nữa. 

Xác định cái bước tiếp theo để làm khó quá  :(

Áp dụng $AM-GM$ ta có:$2\sqrt{1+8x^{3}}\leq (1+2x)+(1-2x+4x^{2})=2+4x^{2}$.Suy ra:$\frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3}+4x-2)} \geq \frac{4x}{y(2+4y^2+4x-2)}=\frac{x}{y(x+y^2)}$ $(1)$

Tương tự ta có:$\frac{4y}{z(2\sqrt{1+8z^3}+4y-2)} \geq \frac{y}{z(y+z^2)}$ $(2)$

                         $\frac{4z}{x(2\sqrt{1+8x^3}+4z-2)} \geq \frac{z}{x(z+x^2)}$ $(3)$

Cộng theo vế các bất đẳng thức $(1),(2)$ và $(3)$ ta có:$P \geq  \frac{x}{y(x+y^2)}+\frac{y}{z(y+z^2)}+\frac{z}{x(z+x^2)}$

Áp dụng kĩ thuật Côsi ngược dấu ta có:$\frac{x}{y(x+y^2)}=\frac{1}{y}-\frac{y}{x+y^2} \geq \frac{1}{y}-\frac{y}{2y\sqrt{x}}=\frac{1}{y}-\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $(4)$

Tương tự ta có:$\frac{y}{z(y+z^2)} \geq \frac{1}{z}-\frac{1}{2\sqrt{y}}$ $(5)$

                         $\frac{z}{x(z+x^2)} \geq \frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{z}}$ $(6)$

Cộng theo vế các bất đẳng thức $(4),(5)$ và $(6)$ ta có:

$P \geq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})$

$= (\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})-3  \geq \frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})-3$

Áp dụng Cauchy-Schwars ta có:$ P \geq \frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3 \geq \frac{27}{2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})} -3 \geq \frac{27}{2\sqrt{3(x+y+z)}} -3 =\frac{3}{2}$

Vậy,$MinP=\frac{3}{2}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$



#14
megakill1994

megakill1994

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

$= (\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})-3  \geq \frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})-3$

đoạn này mình không hiểu tại sao bạn đưa ra bước cuối cùng nhanh như thế. 



#15
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Ta có: $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2 \geq 0$

 

$\Rightarrow$ $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

$\geq 0+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3 =\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

Hiểu chưa :o

Kiến thức cơ bản thôi mà :$A^2 \geq 0$ với mọi $A$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 28-05-2014 - 21:56


#16
megakill1994

megakill1994

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

Ta có: $\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2 \geq 0$

 

$\Rightarrow$ $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

$\geq 0+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3 =\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

Hiểu chưa :o

Kiến thức cơ bản thôi mà :$A^2 \geq 0$ với mọi $A$

Cái này thì mình hiểu. Nhưng nếu giả sử $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2> 2$ chẳng hạn thì min sẽ sai đúng không? Lúc đầu tớ thắc mắc là tại sao bạn không chứng minh mà có thể đưa ra kết luận nhanh thế. Vì $P\geq a \neq P\geq A^2+a$ chứ. Tuy trong trường hợp này $\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2 \geq 0$  là đúng. ( Cái này tớ có thể tự chứng minh được). Theo bạn thì thế nào? 



#17
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Cái này thì mình hiểu. Nhưng nếu giả sử $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2> 2$ chẳng hạn thì min sẽ sai đúng không? Lúc đầu tớ thắc mắc là tại sao bạn không chứng minh mà có thể đưa ra kết luận nhanh thế. Vì $P\geq a \neq P\geq A^2+a$ chứ. Tuy trong trường hợp này $\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2 \geq 0$  là đúng. ( Cái này tớ có thể tự chứng minh được). Theo bạn thì thế nào? 

nếu $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2> 2$

thì  $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

$>2+ \frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

$=\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -1$.

Số $0$ hay số $2$ hay sô bao nhiêu cũng thế thôi,cũng chỉ là cộng vào mà thôi



#18
megakill1994

megakill1994

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 29 Bài viết

nếu $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2> 2$

thì  $(\frac{1}{\sqrt{x}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{y}}-1)^2+(\frac{1}{\sqrt{z}}-1)^2+\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

$>2+ \frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -3$

$=\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}) -1$.

Số $0$ hay số $2$ hay sô bao nhiêu cũng thế thôi,cũng chỉ là cộng vào mà thôi

Điều đó thì theo mình $P\geqslant A^2+a\Rightarrow P\geqslant a$ thì hoàn toàn đúng. Nhưng ví dụ như giá trị nhỏ nhất của biểu thức là P=4+2. Mà ta lại tính ra P=2. Thì khi xác định các điểm mà tại đó đẳng thức xảy ra sẽ không đúng phải không? Ý mình là đẳng thức nó sẽ không xảy ra khi $A^2\geqslant 0(A\neq 0)$.thì bài làm của chúng ta không hoàn toàn đúng phải không Đây không phải là soi mói bài làm của bạn, mình chỉ muốn hiểu rõ vấn đề thôi :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megakill1994: 29-05-2014 - 08:11


#19
sonksnb

sonksnb

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 103 Bài viết

Bài 1:Theo giả thiết ta có:$6(a^2+b^2)+20ab=5(a+b)(ab+3)$ $\Leftrightarrow$ $6(a^2+b^2)+20ab=5ab(a+b)+15(a+b)$

$\Leftrightarrow$ $6\frac{a^2+b^2}{ab}+20=5(a+b)+15\frac{a+b}{ab}$ $\Leftrightarrow$ $6(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+20=5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$.

Đặt $t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a},t \geq 2$,ta có:$6t+20=5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$

Áp dụng Côsi ta có:$5(a+b)+15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \geq 2\sqrt{75(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})}=2\sqrt{75(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2)}=2\sqrt{75(t+2)}$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 3t+10 \geq \sqrt{75(t+2)} \\ t \geq 2 \end{matrix}\right.$. $\Leftrightarrow$ $t \geq \frac{10}{3}$.

Ta có:$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}=t^2-2$

         $\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3}=t^3-3t$

         $\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4}=t^4-4t^2+2$

Suy ra:$P=9(\frac{a^4}{b^4}+\frac{b^4}{a^4})-16(\frac{a^3}{b^3}+\frac{b^3}{c^3})+25(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})$

               $=9(t^4-4t^2+2)-16(t^3-3t)+25(t^2-2)=9t^4-16t^3-11t^2+48t-32=f(t)$

Xét hàm số $f(t)=9t^4-16t^3-11t^2+48t-32$ trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ ta có:

$f'(t)=36t^3-48t^2-22t+48$

$f''(t)=108t^2-96t-22$

$f'''(t)=216t-96$

Ta có:$f'''(t)=216t-96 \geq 624 >0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Suy ra,hàm $f''(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ $\Rightarrow$ $f''(t) > 0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3} $

Suy ra,hàm $f'(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$ $\Rightarrow$ $f'(t) > 0$ với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Suy ra,hàm $f(t)$ là hàm đông biến trên $[\frac{10}{3};+\infty)$

Suy ra: $f(t) \geq f(\frac{10}{3})=\frac{14156}{27}$,với mọi $t \geq \frac{10}{3}$

Vậy,$MinP=\frac{14156}{27}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} 5(a+b)=15(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{10}{3} \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} ab=3 \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{10}{3} \end{matrix}\right.$. $\Leftrightarrow$ $(a;b)=(1;3)$ hoặc $(a;b)=(3;1)$

Bài 2:bạn xem tại đây http://diendantoanho...21-frac2a1b1c1/

bạn ơi sao bạn dự đoán được dấu bằng của bài 1 đê đưa ra được đánh giá vậy



#20
xCaroZ

xCaroZ

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

bạn ơi sao bạn dự đoán được dấu bằng của bài 1 đê đưa ra được đánh giá vậy

Bài nào thế bạn






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh