Chủ đề này có 1 trả lời

[megakill1994]

Giải HPT sau :

$\left\{\begin{matrix} 2^{\frac{1-x^2}{x^2}}+xy+\frac{3}{2}=2^y & \\ (x^2y+2x)^2-2x^2y-4x+1=0 & \end{matrix}\right.$

@Mod: chú ý cách đặt tiêu đề

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 22-05-2014 - 09:29

[xxSneezixx]

Giải HPT sau :

$\left\{\begin{matrix} 2^{\frac{1-x^2}{x^2}}+xy+\frac{3}{2}=2^y & \\ (x^2y+2x)^2-2x^2y-4x+1=0 & \end{matrix}\right.$

@Mod: chú ý cách đặt tiêu đề

Giải: 

$\left\{\begin{matrix} 2^{\frac{1-x^2}{x^2}}+xy+\frac{3}{2}=2^y (1)  \\ (x^2y+2x)^2-2x^2y-4x+1=0 (2) \end{matrix}\right.$

$(2)\Leftrightarrow x^4y^2 +2(2x^3 -x^2)y + 4x^2 -4x+1 =0 $

$\Delta_{y}= (2x^3-x^2)^2 - x^4(4x^2 -4x +1)=0 $

$\Leftrightarrow y= \frac{1-2x}{x}(3)$

Thay $(3)$ vào $(1) $, ta có :

$(1)\Leftrightarrow 2^{\frac{1}{x^2 }-1}+\frac{1-2x}{x}+\frac{3}{2}= 2^{\frac{1-2x}{x^2}}(4)$

Đặt $a= \frac{1}{x}(a\neq 0)$

$(4)\Leftrightarrow 2^{a^2 }- 2^{(a-1)^2 }= \frac{1}{4}(1-2x)$

Xét hàm số $f(a)= 2^{a^2 }- 2^{(a-1)^2 }- \frac{1}{4}(1-2x))(a\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\} )$

Có: $f'(a)= 2\log(2)\left(a2^{a^2 }-(a-1)2^{(a-1)^2} \right )+2$

Đặt  $ t(a) = a 2^{a^2 }-(a-1) 2^{(a-1)^2 }$

Xét hàm số $g(t) = t2^{t^2}(t\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\})$ có $g'(t)= 2^{t^2}+2t^2\log(2)2^{t^2}>0\forall t$

Do đó: $t(a)=0\Leftrightarrow  g(a)=g(a-1)\Rightarrow a = a-1 (!)$

$\Rightarrow a 2^{a^2 }-(a-1) 2^{(a-1)^2}\neq 0\forall a \neq 0 $ 

mà, với $a =1$, ta có : $t(1)= 2>0$

 $\Rightarrow\forall a\neq 0, t(a)>0\Rightarrow  \forall a\neq 0,f'(a)>0 $  

Suy ra $f(a)$ đồng biến với $a\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$

Lại có: $f(\frac{1}{2})=0, f(0)\neq 0.$

$\Rightarrow x=2, y= -\frac{3}{4}$

Vậy hpt  có  cặp nghiệm $(x;y)$ duy nhất là $(2; -\frac{3}{4})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xxSneezixx: 22-05-2014 - 22:57