Chủ đề này có 1 trả lời

[ijkm]

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x^{2}+2}{x+tanx}dx.$

[ijkm]

Bài này là một cái bẫy, không nên lắp cận vào. Nên lắp cận chỉ sau khi tìm được nguyên hàm. Cộng trừ $tan^2x$ trên tử.

I = $\int \frac{x^{^{2}}-tan^2x}{x+tanx}dx + \int \frac{2+tan^2x}{x+tanx}dx$ 

  = $\int (x-tanx)dx + \int \frac{2cos^2x+sin^2x}{(cos^2x)(x+tanx)}dx$

  = $\frac{x^2}{2} + ln(cosx) + \int \frac{2cos^2x+si n^2x}{(cos^2x)(x+tanx)}dx$

Tính  $I_{1} = \int \frac{2cos^2x+si n^2x}{cos^2x(x+tanx)}dx$

                   =  $ \int \frac{cos^2x+1}{cos^2x(x+tanx)}dx$

Đặt $t = x + tanx \Rightarrow dt = (1 + \frac{1}{cos^2x}) dx = (\frac{cos^2x + 1}{cos^2x}) dx$

$\Rightarrow I_{1} = \int \frac{1}{t} dt = lnt = ln(x+tanx) = ln\frac{xsinx+cosx}{cosx} = ln(xsinx+cosx) - ln(cosx)$

 

$\Rightarrow I = \frac{x^2}{2} + ln(cosx) - ln(cosx) + ln(xsinx+cosx) = \frac{x^2}{2} + ln(xsinx+cosx).$

 

Tới đây lắp cận vào thôi. Cái khó là triệt xong $ln(cosx)$.