Chủ đề này có 2 trả lời

[songokucadic1432]

tìm các số nguyên tố $p_{1};p_{2};...;p_{7};p_{8}$ thỏa mãn:

$p_{1}^2+p_{2}^2+...+p_{7}^2=p_{8}^2$

thank nhé       

 

[Zaraki]

tìm các số nguyên tố $p_{1};p_{2};...;p_{7};p_{8}$ thỏa mãn:

$p_{1}^2+p_{2}^2+...+p_{7}^2=p_{8}^2$

thank nhé       

Lời giải. Không mất tính tổng quát, giả sử $2 \le p_1 \le p_2 \le \cdots \le p_7<p_8$.

Nếu $p_i \; (1 \le i \le 7, i \in \mathbb{N})$ đều là các số lẻ thì $p_i^2 \equiv 1 \pmod{4}$. Do đó $VT \equiv 7 \equiv 3 \pmod{4}$ suy ra $p_8^2 \equiv 3 \pmod{4}$, mâu thuẫn.

Nếu trong các số $p_i$ có $2k+1$ số chẵn thì $VT \equiv 0 \pmod{2}$ dẫn đến $p_8^2 \equiv 0 \pmod{2}$. Khi đó $p_8=2$, ta có $p_8^2=2^2<VT$, mâu thuẫn.

Vậy trong các số $p_i$ phải có $2k$ số chẵn, tức là phải có $2k$ số bằng $2$ (vì $p_i$ nguyên tố).

 

Nếu $p_1=p_2=2$ và $p_3, p_4, \cdots ,p_7$ lẻ thì $8+p_3^2+p_4^2+ \cdots +p_7^2=p_8^2$.

Ta luôn có $a^2 \equiv 1 \pmod{8}$ với $a$ lẻ. Khi đó $VT \equiv 5 \pmod{8}$ hay $p_8^2 \equiv 5 \pmod{8}$, mâu thuẫn.

 

Nếu $p_1=p_2=p_3=p_4=2$ và $p_5,p_6,p_7$ lẻ thì $16+p_5^2+p_6^2+p_7^2=p_8^2$. Tương tự ta suy ra $p_8^2 \equiv 3 \pmod{8}$, mâu thuẫn.

 

Nếu $p_1=p_2= \cdots = p_6=2$ và $p_7$ lẻ thì $24+p_7^2=p_8^2 \Leftrightarrow (p_8-p_7)(p_8+p_7)=24$ dẫn đến $\left \{ \begin{array}{l} p_8-p_7=4 \\ p_8+p_7=6 \end{array} \right.$ hoặc $\left \{ \begin{array}{l} p_8-p_7=2 \\ p_8+p_7=12 \end{array} \right.$. Ta tìm được $p_8=7,p_7=5$.

Vậy $\boxed{(p_1,p_2,p_3,p_4,p_5,p_6,p_7,p_8)=(2,2,2,2,2,2,5,7)}$.

[Simpson Joe Donald]

Dễ thấy '$p_8>7$ nên p8 lẻ

Do đó vế trái phải có số các số chẵn là số chẵn
- Nếu toàn bộ vế trái đều là số lẻ khi đó VT≡3(mod4) còn VP≡1(mod4) suy ra vô lí
- Nếu vế trái có 2 số chẵn, không giảm tổng quát giả sử p1=p2=2 khi đó VT≡5(mod8) còn VP≡1(mod8) suy ra vô lý
- Nếu vế trái có 4 số chẵn, không giảm tổng quát giả sử $p_1=p_2=p_3=p_4=2$ khi đó VT≡3(mod4) còn VP≡1(mod4) suy ra vô lý

Do đó VT có đúng 6 số chẵn, không giảm tổng quát giả sử $p_1=p_2=...=p_6=2$ khi đó ta có
$24+(p_7)^2=(p_8)^2$ => $(p_8−p_7)(p_8+p_7)=2.12$ => $p_7=5;p_8=7$