Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic chuyên KHTN 2014


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 27 trả lời

#1 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 23-05-2014 - 12:20

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

     TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

 

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2014

Thời gian : 180 phút

NGÀY THỨ NHẤT

 

Câu I : Tìm tất cả các bộ ba số $(x,n,p)$ với $x,n$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn :

$$x^3+2x=3(p^n-1)$$

 

Câu II : Cho tam giác $ABC$. Trên đoạn thẳng $AC$ lấy điểm $P$ và trên đoạn thẳng $PC$ lấy điểm $Q$ sao cho $\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{QP}{QC}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABQ$ cắt $BC$ tại $R$ khác $B$.

a) Chứng minh rằng $\angle ABP=\angle PRQ$

b) Gọi $S$ là giao điểm khác $P$ của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAB,PQR$. Chứng minh tam giác $CPS$ cân.

 

Câu III : Cho các số thực không âm $a,b,c,$ thỏa :

$$(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$$

Chứng minh rằng :

$$\dfrac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}+\dfrac{b}{c(4a+15)(c+2a)^2}+\dfrac{c}{a(4b+15)(a+2b)^2}\geq \dfrac{1}{3}$$

 

Vạn sự khởi đầu nan... :'(


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 23-05-2014 - 12:21

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#2 davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
  • Sở thích:Hình học, bất đẳng thức

Đã gửi 23-05-2014 - 13:04

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

     TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

 

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2014

Thời gian : 180 phút

NGÀY THỨ NHẤT

 

Câu I : Tìm tất cả các bộ ba số $(x,n,p)$ với $x,n$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn :

$$x^3+2x=3(p^n-1)$$

 

Câu II : Cho tam giác $ABC$. Trên đoạn thẳng $AC$ lấy điểm $P$ và trên đoạn thẳng $PC$ lấy điểm $Q$ sao cho $\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{QP}{QC}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABQ$ cắt $BC$ tại $R$ khác $B$.

a) Chứng minh rằng $\angle ABP=\angle PRQ$

b) Gọi $S$ là giao điểm khác $P$ của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAB,PQR$. Chứng minh tam giác $CPS$ cân.

 

Câu III : Cho các số thực không âm $a,b,c,$ thỏa :

$$(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$$

Chứng minh rằng :

$$\dfrac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}+\dfrac{b}{c(4a+15)(c+2a)^2}+\dfrac{c}{a(4b+15)(a+2b)^2}\geq \dfrac{1}{3}$$

 

Vạn sự khởi đầu nan... :'(

 

Câu I:

Lời giải.

Ta có: $x^{3}+2x=3(p^{n}-1)\Leftrightarrow x^{3}+2x+3=3p^{n}\Leftrightarrow (x+1)(x^{2}-x+3)=3p^{n}$

Gọi $d=(x+1;x^{2}-x+3)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+1\vdots d\\ x^{2}-x+3\vdots d \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (x+1)(x-2)+5\vdots d\\ x+1\vdots d \end{matrix}\right.\Rightarrow 5\vdots d$

$\cdot p=3\Rightarrow (x+1)(x^{2}-x+3)=3^{n+1}\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x+1=3^{n+1}\\ x^{2}-x+3=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow x^{2}-x+2=0$ (vô lý)

$\cdot p\neq 3$. Ta xét hai trường hợp sau:

TH1: $d=5\Rightarrow p=5\Rightarrow (x+1)(x^{2}-x+3)=3.5^{n}$

Suy ra: $\begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x+1=5\\ x^{2}-x+3=3.5^{n-1} \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x+1=3.5\\ x^{2}-x+3=5^{n-1} \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x+1=5^{n-1}\\ x^{2}-x+3=3.5 \end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix} x+1=3.5^{n-1}\\ x^{2}-x+3=5 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=4\\ n=2 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=14\\ 5^{n-1}=185 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x=4\\ n=2 \end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix} x=2\\ n=1 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$

TH2: $d=1\Rightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x+1=3\\ x^{2}-x+3=p^{n} \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} x+1=p^{n}\\x^{2}-x+3=3 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x=2\\ p=5 \\ n=1 \end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix} x=1\\ p=2 \\ n=1 \end{matrix}\right. \end{bmatrix}$

Vậy $(x,n,p)=\begin{Bmatrix} (4,2,5);(2,1,5);(1,1,2) \end{Bmatrix}$



#3 vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 614 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN

Đã gửi 23-05-2014 - 13:31

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

     TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

 

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2014

Thời gian : 180 phút

NGÀY THỨ NHẤT

Câu III : Cho các số thực không âm $a,b,c,$ thỏa :

$$(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$$

Chứng minh rằng :

$$\dfrac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}+\dfrac{b}{c(4a+15)(c+2a)^2}+\dfrac{c}{a(4b+15)(a+2b)^2}\geq \dfrac{1}{3}$$

 

Vạn sự khởi đầu nan... :'(

Không đi thi nhưng cũng chém gió tí

+) Từ giả thiết suy ra $a+b+c\geq \frac{3}{4}$

+) Ta có BĐT quen thuộc

$$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 1$$

+) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

$$VT= \sum \dfrac{\frac{a^2}{(b+2c)^2}}{ab(4c+15)}\geq \dfrac{(\sum \frac{a}{b+2c})^2}{12abc+15\sum ab}\geq \dfrac{1}{12abc+15\sum ab}$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$$12abc+15(ab+bc+ca)\leq 3$$

$$\Leftrightarrow 12abc+15(ab+bc+ca)\leq 3(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)$$

Khai triển ra ta thấy BĐT tương đương với

$$6(a+b+c)^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc+15(ab+bc+ca)$$

Dễ thấy BĐT này đúng theo BĐT AM-GM và $a+b+c\geq \frac{3}{4}$


"Of all creatures that breathe and move upon the earth, nothing is bred that is weaker than man. For he thinks that he will never suffer evil in time to come, so long as the gods give him prosperity and his knees are quick; but when again the blessed gods decree him sorrow, this too he bears in sore despite with steadfast heart; for the spirit of men upon the earth is even such as the day which the father of gods and men brings upon them." (Homer, The Odyssey)

#4 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 23-05-2014 - 13:49

Câu II : Cho tam giác $ABC$. Trên đoạn thẳng $AC$ lấy điểm $P$ và trên đoạn thẳng $PC$ lấy điểm $Q$ sao cho $\dfrac{PA}{PC}=\dfrac{QP}{QC}$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABQ$ cắt $BC$ tại $R$ khác $B$.

a) Chứng minh rằng $\angle ABP=\angle PRQ$

b) Gọi $S$ là giao điểm khác $P$ của hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác $PAB,PQR$. Chứng minh tam giác $CPS$ cân.

Hốt nốt cho nó xong

Ảnh chụp màn hình_2014-05-23_134404.png

a, Đường thẳng qua $P$ song song với $AB$ cắt $BC$ tại $F$, từ giả thiết thì dễ có $QF \parallel BP$

Mặt khác, dễ thấy $PFRQ:tgnt$ nên $\angle PRQ = \angle PFQ = \angle BPF = \angle ABP$

b, Gọi tâm $(ABP$ và $(PRQ)$ lần lượt là $O_1, O_2$

Từ câu a: $\angle ABP = \angle PRQ \Rightarrow \angle O_1AP = \angle O_1PQ$

$\Rightarrow AO_1 \parallel PO_2$
Tương tự thì $BO_1 \parallel FO_2$

Lại có $\frac{PC}{PA} = \dfrac{FC}{FB}$ nên theo bổ đề $E.R.I.Q$ ta có $\overline{C,O_1,O_2}$
$\Rightarrow CP = CS$ (đpcm~)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 23-05-2014 - 14:05

"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#5 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 23-05-2014 - 17:20

Không đi thi nhưng cũng chém gió tí

+) Từ giả thiết suy ra $a+b+c\geq \frac{3}{4}$

+) Ta có BĐT quen thuộc

$$\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\geq 1$$

+) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có

$$VT= \sum \dfrac{\frac{a^2}{(b+2c)^2}}{ab(4c+15)}\geq \dfrac{(\sum \frac{a}{b+2c})^2}{12abc+15\sum ab}\geq \dfrac{1}{12abc+15\sum ab}$$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$$12abc+15(ab+bc+ca)\leq 3$$

$$\Leftrightarrow 12abc+15(ab+bc+ca)\leq 3(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)$$

Khai triển ra ta thấy BĐT tương đương với

$$6(a+b+c)^3+3(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 9abc+15(ab+bc+ca)$$

Dễ thấy BĐT này đúng theo BĐT AM-GM và $a+b+c\geq \frac{3}{4}$

   :ohmy:  :ohmy:  :ohmy:  

 

Chán thật hôm nay làm được có 2 pài .Không biết tương lai về đâu đây

Làm hai bài là giỏi rồi bạn :(. Mình làm đúng 1 bài rưỡi :'((((


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 23-05-2014 - 20:05

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#6 davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
  • Sở thích:Hình học, bất đẳng thức

Đã gửi 24-05-2014 - 12:01

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

     TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN

 

ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2014

Thời gian : 180 phút

NGÀY THỨ HAI

 

Câu IV. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho

$(x-2)P(3x+2)=3^{2015}xP(x)+3^{2016}x-3x+6$

 

Câu V. Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB< AC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường cao $AD,BE,CF$ với $D,E,F$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$. Gọi $(\omega )$ là đường tròn tâm $A$ đi qua $D$. $(\omega )$ cắt $(O)$ ở $M,N$

    a) Chứng minh rằng $MN$ đi qua trung điểm $DE$, $DF$

    b) Gọi $EF$ cắt $BC$ tại $G$ và $DP$ là đường kính của $(\omega )$. $PG$ cắt $(\omega )$ tại $Q$ khác $P$. Chứng minh rằng trung điểm của $DQ$ nằm trên $(O)$

 

Câu VI. Xét $M=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,...,9,10 \end{Bmatrix}$ và $A_{1},A_{2},...,A_{n}$ là dãy các tập con khác rỗng và phân biệt của $M$ sao cho $\begin{vmatrix} A_{i}\setminus A_{j} \end{vmatrix}\leq 3$ với mọi $i\neq j(i,j\in \begin{Bmatrix} 1,2,...,n \end{Bmatrix})$. Hãy tìm giá trị lớn nhất của $n$.


HẾT


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davidsilva98: 24-05-2014 - 12:07


#7 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 24-05-2014 - 12:05

Phúc ơi, tao rớt rồi  (~~)  (~~)  (~~)  (~~)  (~~)  (~~)  (~~)  (~~)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 24-05-2014 - 12:05

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#8 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 24-05-2014 - 12:13

 

Câu IV. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho

$(x-2)P(3x+2)=3^{2015}xP(x)+3^{2016}x-3x+6$

 

Xét $P$ hằng thì được $P(x)\equiv -3$. Xét $P$ không hằng.

Phương trình viết lại dưới dạng :

$$(x-2)\left [ P(3x+2)+3 \right ]=3^{2015}x\left [ P(x)+3 \right ],\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Đặt $Q(x)=P(x)+3$ thì :

$$(x-2)Q(3x+2)=3^{2015}x.Q(x),\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Lấy $x=2$ được $Q(2)=0$.

Đặt tiếp $Q(x)=(x-2)S(x)$ thì được :

$$S(3x+2)=3^{2014}S(x),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow S(3x-1)=3^{2014}S(x-1),\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Đặt $T(x)=S(x-1)$ thì :

$$T(3x)=3^{2014}T(x),\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Gỉa sử $T(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\;\;\;(a_n\neq 0)$, thay vào đồng nhất hệ số bậc cao nhất được $n= 2014$.

Thay vào và đồng nhất tiếp hệ số của $x^i,\;\forall i=\overline{0,2013}$ thì :

$$3^ia_i=3^{2014}a_i,\;\forall i=\overline{0,2013}\Rightarrow a_i=0,\;\forall i=\overline{0,2013}$$

Được :

$$T(x)=cx^{2014},\;\forall x\in \mathbb{R}$$

Dễ dàng tìm được đáp số bài toán :

$$P(x)=c(x-2)(x+1)^{2014}-3,\;\forall x\in \mathbb{R},c=const$$


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#9 phathuy

phathuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:Ơ - rê - ka

Đã gửi 24-05-2014 - 15:35

 

Câu IV. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho

$(x-2)P(3x+2)=3^{2015}xP(x)+3^{2016}x-3x+6$

 

Mình ra đáp số khác. Các bạn tìm giúp lỗi sai trong lời giải của mình nha.

$\left( x-2 \right)P\left( 3x+2 \right)={{3}^{2015}}xP\left( x \right)+{{3}^{2016}}x-3x+6\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ P\left( 3x+2 \right)+3 \right]={{3}^{2015}}x\left[ P\left( x \right)+3 \right]$. Đặt $Q\left( x \right)=P\left( x \right)+3\Rightarrow \left( x-2 \right)Q\left( 3x+2 \right)={{3}^{2015}}xQ\left( x \right)\left( * \right)$. Dễ thấy $Q\left( x \right)$ có hai nghiệm

\[x=-1,\text{ }x=2\Rightarrow Q\left( x \right)=\left( x-2 \right)\left( x+1 \right){{Q}_{1}}\left( x \right)\]

 thay vào (*) được $9x\left( x-2 \right)\left( x+1 \right){{Q}_{1}}\left( 3x+2 \right)={{3}^{2015}}x\left( x-2 \right)\left( x+1 \right){{Q}_{1}}\left( x \right)\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ $\Leftrightarrow {{Q}_{1}}\left( 3x+2 \right)={{3}^{2013}}{{Q}_{1}}\left( x \right)\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$

Lại nhận thấy rằng ${{Q}_{1}}\left( x \right)$ có nghiệm \[x=-1\Rightarrow {{Q}_{1}}\left( x \right)=\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( x \right)\Rightarrow 3\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( 3x+2 \right)={{3}^{2013}}\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( x \right)\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\]

\[\Rightarrow {{Q}_{1}}\left( x \right)=\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( x \right)\Rightarrow 3\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( 3x+2 \right)={{3}^{2013}}\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( x \right)\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\]

$\Leftrightarrow {{Q}_{2}}\left( 3x+2 \right)={{3}^{2012}}{{Q}_{2}}\left( x \right)\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$

Cũng lại thấy ${{Q}_{2}}\left( x \right)$ có nghiệm -1. Cứ tiếp tục lập luận như trên cho đến vô hạn ta nhận được $Q\left( x \right)=\alpha \left( x-2 \right)\left( x+1 \right)\left( x+1 \right)...\left( x+1 \right)$ (có vô hạn nhân tử x+1). Theo định nghĩa của đa thức không tồn tại đa thức $Q\left( x \right)0$ có biểu diễn như trên nên $Q\left( x \right)\equiv 0$. Từ đó suy ra $P\left( x \right)=-3$ 


Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích :biggrin:


#10 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 24-05-2014 - 16:54

Mình ra đáp số khác. Các bạn tìm giúp lỗi sai trong lời giải của mình nha.

$\left( x-2 \right)P\left( 3x+2 \right)={{3}^{2015}}xP\left( x \right)+{{3}^{2016}}x-3x+6\Leftrightarrow \left( x-2 \right)\left[ P\left( 3x+2 \right)+3 \right]={{3}^{2015}}x\left[ P\left( x \right)+3 \right]$. Đặt $Q\left( x \right)=P\left( x \right)+3\Rightarrow \left( x-2 \right)Q\left( 3x+2 \right)={{3}^{2015}}xQ\left( x \right)\left( * \right)$. Dễ thấy $Q\left( x \right)$ có hai nghiệm

\[x=-1,\text{ }x=2\Rightarrow Q\left( x \right)=\left( x-2 \right)\left( x+1 \right){{Q}_{1}}\left( x \right)\]

 thay vào (*) được $9x\left( x-2 \right)\left( x+1 \right){{Q}_{1}}\left( 3x+2 \right)={{3}^{2015}}x\left( x-2 \right)\left( x+1 \right){{Q}_{1}}\left( x \right)\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$ $\Leftrightarrow {{Q}_{1}}\left( 3x+2 \right)={{3}^{2013}}{{Q}_{1}}\left( x \right)\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$

Lại nhận thấy rằng ${{Q}_{1}}\left( x \right)$ có nghiệm \[x=-1\Rightarrow {{Q}_{1}}\left( x \right)=\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( x \right)\Rightarrow 3\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( 3x+2 \right)={{3}^{2013}}\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( x \right)\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\]

\[\Rightarrow {{Q}_{1}}\left( x \right)=\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( x \right)\Rightarrow 3\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( 3x+2 \right)={{3}^{2013}}\left( x+1 \right){{Q}_{2}}\left( x \right)\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)\]

$\Leftrightarrow {{Q}_{2}}\left( 3x+2 \right)={{3}^{2012}}{{Q}_{2}}\left( x \right)\left( \forall x\in \mathbb{R} \right)$

Cũng lại thấy ${{Q}_{2}}\left( x \right)$ có nghiệm -1. Cứ tiếp tục lập luận như trên cho đến vô hạn ta nhận được $Q\left( x \right)=\alpha \left( x-2 \right)\left( x+1 \right)\left( x+1 \right)...\left( x+1 \right)$ (có vô hạn nhân tử x+1). Theo định nghĩa của đa thức không tồn tại đa thức $Q\left( x \right)0$ có biểu diễn như trên nên $Q\left( x \right)\equiv 0$. Từ đó suy ra $P\left( x \right)=-3$ 

Dòng màu đỏ không đúng vì đến một lúc nào đó ta sẽ có :

$$Q_{j}(3x+2)=Q_{j}(x)\Rightarrow Q_{j}(x)\equiv const$$

Lúc này đa thức $Q_j(x)$ là hằng nên nó không còn nhận nhân tử $x+1$ nữa. Tức là số mũ của $x+1$ chỉ chạy đến $2014$ rồi dừng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 24-05-2014 - 16:56

Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#11 phathuy

phathuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:Ơ - rê - ka

Đã gửi 24-05-2014 - 17:17

Sao lại thế được $Q\left( 3x+2 \right)=Q\left( x \right)$ thì sao suy ra $Q\left( x \right)$ là hàm hằng. Phải là $Q\left( 3x+2 \right)=Q\left( 3x+t \right)\left( t=const \right)$ hoặc $Q\left( x \right)=Q\left( x+t \right)$ thì mới suy ra được chứ. 


Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích :biggrin:


#12 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 24-05-2014 - 17:36

Sao lại thế được $Q\left( 3x+2 \right)=Q\left( x \right)$ thì sao suy ra $Q\left( x \right)$ là hàm hằng. Phải là $Q\left( 3x+2 \right)=Q\left( 3x+t \right)\left( t=const \right)$ hoặc $Q\left( x \right)=Q\left( x+t \right)$ thì mới suy ra được chứ. 

Thay $x$ bởi $x-1$ thì :

$$Q(3x-1)=Q(x-1)$$

Đặt $G(x)=Q(x-1)$ thì $G(3x)=G(x)$.

Gỉa sử $G$ không hằng, viết $G(x)$ dưới dạng khai triển, đồng nhất các hệ số ta gặp mâu thuẫn.

Suy ra $G$ hằng, suy ra $Q$ hằng.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#13 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 24-05-2014 - 18:37

   :ohmy:  :ohmy:  :ohmy:  

 

Làm hai bài là giỏi rồi bạn :(. Mình làm đúng 1 bài rưỡi :'((((

Nhưng mình làm có mấy chỗ sai linh tinh



#14 phathuy

phathuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:Ơ - rê - ka

Đã gửi 24-05-2014 - 20:06

Hốt nốt cho nó xong

attachicon.gifẢnh chụp màn hình_2014-05-23_134404.png

a, Đường thẳng qua $P$ song song với $AB$ cắt $BC$ tại $F$, từ giả thiết thì dễ có $QF \parallel BP$

Mặt khác, dễ thấy $PFRQ:tgnt$ nên $\angle PRQ = \angle PFQ = \angle BPF = \angle ABP$

b, Gọi tâm $(ABP$ và $(PRQ)$ lần lượt là $O_1, O_2$

Từ câu a: $\angle ABP = \angle PRQ \Rightarrow \angle O_1AP = \angle O_1PQ$

$\Rightarrow AO_1 \parallel PO_2$
Tương tự thì $BO_1 \parallel FO_2$

Lại có $\frac{PC}{PA} = \dfrac{FC}{FB}$ nên theo bổ đề $E.R.I.Q$ ta có $\overline{C,O_1,O_2}$
$\Rightarrow CP = CS$ (đpcm~)

Chỗ bôi đỏ thực ra dùng phép vị tự là được rồi.

Do các cặp đường thẳng song song $\left( B{{O}_{1}},{{O}_{2}}F \right),\left( {{O}_{1}}P,{{O}_{2}}Q \right),\left( BP,FQ \right)$ nên tồn tại phép vị tự biến tam giác $BP{{O}_{1}}$ thành tam giác $FQ{{O}_{2}}$. Đó chính là phép vị tự tâm C tỉ số $\frac{CP}{CQ}$. Từ đây, theo định nghĩa của phép vị tự suy ra $\overline{C,{{O}_{1}},{{O}_{2}}}$


Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích :biggrin:


#15 phathuy

phathuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:Ơ - rê - ka

Đã gửi 24-05-2014 - 20:11

Hốt nốt cho nó xong

attachicon.gifẢnh chụp màn hình_2014-05-23_134404.png

a, Đường thẳng qua $P$ song song với $AB$ cắt $BC$ tại $F$, từ giả thiết thì dễ có $QF \parallel BP$

Mặt khác, dễ thấy $PFRQ:tgnt$ nên $\angle PRQ = \angle PFQ = \angle BPF = \angle ABP$

b, Gọi tâm $(ABP$ và $(PRQ)$ lần lượt là $O_1, O_2$

Từ câu a: $\angle ABP = \angle PRQ \Rightarrow \angle O_1AP = \angle O_1PQ$

$\Rightarrow AO_1 \parallel PO_2$
Tương tự thì $BO_1 \parallel FO_2$

Lại có $\frac{PC}{PA} = \dfrac{FC}{FB}$ nên theo bổ đề $E.R.I.Q$ ta có $\overline{C,O_1,O_2}$
$\Rightarrow CP = CS$ (đpcm~)

Lúc thi, bạn có chứng minh bổ đề này không? Nếu bạn có cách chứng minh ngắn hơn trong tài liệu thì cho mình tham khảo với.


Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích :biggrin:


#16 phathuy

phathuy

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:Ơ - rê - ka

Đã gửi 24-05-2014 - 20:14

Phúc ơi, tao rớt rồi  (~~)  (~~)  (~~)  (~~)  (~~)  (~~)  (~~)  (~~)

Tớ cũng toi luôn rồi! :( . Lần sau cố gắng hơn. :ukliam2:


Mục đích của cuộc sống là sống có mục đích :biggrin:


#17 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 24-05-2014 - 20:15

Lúc thi, bạn có chứng minh bổ đề này không? Nếu bạn có cách chứng minh ngắn hơn trong tài liệu thì cho mình tham khảo với.

Mình không có được thi.


"I helped rehabilitate a part of the world. If I use this ability, maybe I can even help restore the rest of this depraved world."

#18 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-05-2014 - 19:15

Ủa không ai làm bài hình ngày 2&nbsp;à [email protected]@~ Mình làm nhé&nbsp;
a) Dễ thấy MN là trục&nbsp;đẳng phương của 2&nbsp;đường tròn $(A;AD)$ và $(O)$, vậy nên ta sẽ chứng minh $P$ và $Q$ có cùng phương tích với 2&nbsp;đường tròn này.
Ta có : $\mathfrak{P}_{P/(O)}=OP^2-R_{(O)}^2\\=\frac{OF^2+OD^2}{2}-R_{(O)}^2-\frac{DF^2}{4}\,\,\text{(Công thức đường trung tuyến)}\\=\frac{\mathfrak{D}_{P/(O)}+\mathfrak{P}_{F/(O)}}{2}-\frac{DF^2}{4}\\=-\frac{BF.FA+BD.DC}{2}-\frac{DF^2}{4}$
$\mathfrak{P}_{P/(A)}=AP^2-AD^2=\frac{AD^2+AF^2}{2}-\frac{DF^2}{4}-AD^2\\=\frac{AF^2-AD^2}{2}-\frac{DF^2}{4}\\=\frac{AF^2-AB^2+AB^2-AD^2}{2}-\frac{DF^2}{4}\\=\frac{-BF.(AF+AB)+BD^2}{2}-\frac{DF^2}{4}\,\,\text{(Pythagore)}\\= \frac{-BF.FA-BD.BC}{2}-\frac{DF^2}{4}$
Suy ra $P\in MN$, tương tự với $Q$ ta có điều phải chứng minh.
b) Vẽ $MN$ cắt $GC$ tại $H$. $QD$ cắt $AH$ tại $X$.
Dễ dàng suy ra $H$ là trung điểm $GD$ (Do $PQ$ là đường trung bình của $DEF$).
Từ đây suy ra $X$ là trung điểm $QD$, mặt khác $(BCDG)=-1\Rightarrow HD^2=HB.HC=HX.HA\Rightarrow X\in (O)$ (Maclaurin)$\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 25-05-2014 - 19:17

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#19 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 26-05-2014 - 01:38

Các bạn có thể tham khảo một lời giải và ý phát triển câu II ở đây

 

http://analgeomatica...oi-bai-thi.html



#20 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 26-05-2014 - 07:56

Các bạn có thể tham khảo một lời giải và ý phát triển câu V ở đây

 

http://analgeomatica...nhi-ky-toi.html






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh