Bài 4:
Gợi ý: Một hướng tự nhiên để tìm tối đa số tập là cho các tập có càng ít phần tử càng tốt
Chú ý rằng ${C}_{1}^{10}\textrm+{C}_{2}^{10}\textrm+{C}_{3}^{10}\textrm+{C}_{4}^{10}\textrm=385$
Từ đó ta sẽ chỉ ra với $n>385$ luôn tồn tại $2$ tập có giao $>3$
$Giải:$ Do có tối đa $175$ tập có ít hơn $4$ phần tử nên khi đó có hơn $210$ tập có hơn $3$ phần tử
Giả sử phản chứng rằng không có $2$ tập nào giao $>3$
Khi đó nếu có tập $A$ có hơn $\geq 5$ phần tử ta sẽ bỏ đi $|A|-4$ phần tử ra ngoài thì không ảnh hưởng đến đpcm thậm chí còn lỏng hơn
Lúc đó sẽ tương đương có $\geq 211$ tập $4$ phần tử
Mà rõ ràng số tập $4$ phần tử là $210$ nên theo nguyên lí $Dirichlet$ thì có $2$ tập trùng nhau
Nói cách khác là tồn tại $A_i, A_j$ mà $|A_i|,|A_j|\geq 4$ và $|Ai \cap Aj|\geq 4$ vô lí với giả thiết
Do các tập là phân biệt nên các tập có $4$ phần tử sẽ giao nhau không quá $3$ phần tử vì nếu ngược lại thì chúng trùng nhau vô lí
Từ đó dấu $=$ xảy ra khi ta lập thành bộ đầy các tập có $1,2,3,4$ phần tử
Vậy ta có ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhaan2209: 19-08-2018 - 23:19