Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Trận 10 - Bất đẳng thức

mhs 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 25 trả lời

#1 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 23-05-2014 - 19:55

Vào hồi 20h, Thứ Sáu, ngày 23/5/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

 

 

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.


Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 
Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

3) Thành viên diễn đàn không đăng kí thi đấu vẫn có thể giải bài, nhưng phải ghi rõ là: Mình không phải là toán thủ thi đấu

 

4) Sau trận này, 03 toán thủ đứng cuối cùng của bảng xếp hạng sẽ bị loại khỏi giải đấu.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 23-05-2014 - 20:05

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3 Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Ngoại thương TP.HCM
  • Sở thích:Đam mỹ

Đã gửi 23-05-2014 - 20:28

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Em không phải toán thủ thi đấu ! 

 

Sử dụng giả thiết $xyzt=1$ ta viết bất đẳng thức dưới dạng :

$$\dfrac{1}{x^3\left ( \dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xt} \right )}+\dfrac{1}{y^3\left ( \dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{yt}+\dfrac{1}{yx} \right )}+\dfrac{1}{z^3\left ( \dfrac{1}{zt}+\dfrac{1}{zx}+\dfrac{1}{zy} \right )}+\dfrac{1}{t^3\left ( \dfrac{1}{tx}+\dfrac{1}{ty}+\dfrac{1}{tz} \right )}\geq \dfrac{4}{3}$$

Hay :

$$\dfrac{1}{x^2\left ( \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t} \right )}+\dfrac{1}{y^2\left ( \dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{x} \right )}+\dfrac{1}{z^2\left ( \dfrac{1}{t}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \right )}+\dfrac{1}{t^2\left ( \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \right )}\geq \dfrac{4}{3}$$

Vậy nếu đặt $a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z},d=\dfrac{1}{t}$ giả thiết trở thành $abcd=1$ và cần chứng minh.

$$\dfrac{a^2}{b+c+d}+\dfrac{b^2}{c+d+a}+\dfrac{c^2}{d+a+b}+\dfrac{d^2}{a+b+c}\geq \dfrac{4}{3}$$

Điều này thì luôn đúng theo Cauchy-Schwarz và AM-GM :

$$\dfrac{a^2}{b+c+d}+\dfrac{b^2}{c+d+a}+\dfrac{c^2}{d+a+b}+\dfrac{d^2}{a+b+c}\geq \dfrac{(a+b+c+d)^2}{3(a+b+c+d)}=\dfrac{a+b+c+d}{3}\geq \dfrac{4\sqrt[4]{abcd}}{3}=\dfrac{4}{3}$$

Bài toán hoàn tất.


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !


#4 buiminhhieu

buiminhhieu

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Inequality

Đã gửi 23-05-2014 - 20:29

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Em không phải toán thủ thi đấu:

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c;\frac{1}{t}=d\rightarrow abcd=1$

BĐT khi đó trở thành:

$\sum \frac{a^{2}}{b+c+d}\geq ^{bunhia}\frac{(a+b+c+d)^{2}}{3(a+b+c+d)}=\frac{a+b+c+d}{3}\geq ^{AM-GM}\frac{4\sqrt[4]{abcd}}{3}=\frac{4}{3}$

Dấu "=" khi $a=b=c=d=1$ hay $x=y=z=t=1$


%%- Chuyên Vĩnh Phúc

6cool_what.gif


#5 25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:KHTN-NEU
  • Sở thích:Cafe + radio + mưa

Đã gửi 23-05-2014 - 20:40

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Sử dụng $xyzt=1$ ta có bất đẳng thức tương đương 

     $\sum \frac{1}{x^2(\frac{1}{t}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}\geqslant \frac{4}{3}$

Áp dụng Cauchy-Schwarzt ta có 

     $\sum \frac{1}{x^2(\frac{1}{t}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}\geqslant \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})^2}{3(\frac{1}x{+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}})}\geqslant \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{3}$

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\geqslant \frac{4}{\sqrt[4]{xyzt}}=4$

 $\Rightarrow \sum \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}\geqslant \frac{4}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=t=1$


Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#6 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 23-05-2014 - 20:49

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Đặt $\frac{1}{x}=a$, $\frac{1}{y}=b$, $\frac{1}{z}=c$, $\frac{1}{t}=d$ suy ra $abcd=1$

ta có $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty}=\frac{xyzt}{x^3(yz+zt+ty}=\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}=\frac{a^2}{b+c+d}$

tương tự trên xây dựng $3$ biểu thức còn lại thì bất đẳng thức trở thành

$T=\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\geq \frac{4}{3}$

theo B.C.S ta có 

$3(a+b+c+d).T\geq (a+b+c+d)^2 \Leftrightarrow T\geq \frac{a+b+c+d}{3}$

Mặt khác. theo cô si ta có $a+b+c+d\geq4\sqrt[4]{abcd}= 4$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=1$

suy ra $T\geq\frac{4}{3}$ (dpcm)

Vậy $$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$



#7 hoangson2598

hoangson2598

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Kinh Môn - Hải Dương
  • Sở thích:học toán và chơi thể thao
    →♡Math♡←

Đã gửi 23-05-2014 - 21:55

Ta có :

$\sum \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}=\sum \frac{x^2y^2z^2t^2}{x^3(yz+zt+ty)}=\sum \frac{y^2z^2t^2}{xyz+xzt+xty}$

Áp dụng bdt s-vác:

$\sum \frac{y^2z^2t^2}{xyz+xzt+xty}\geq \frac{(xyz+xyt+xzt+yzt)^2}{3(xyz+xyt+xzt+yzt)}=\frac{xyz+xyt+xzt+yzt}{3}\geq \frac{4\sqrt[4]{x^3y^3z^3t^3}}{3}=\frac{4}{3}$

Vậy bdt được cm. Dấu = xảy ra khi: x=y=z=t=1


                  :like  :like  :like  :like  :like  Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.    :like  :like  :like  :like  :like 

                                                                    

                                                                       Albert Einstein

 

                                        :icon6: My Facebookhttps://www.facebook...100009463246438  :icon6:


#8 motdaica

motdaica

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:toán học,VMO,lịch sử

Đã gửi 23-05-2014 - 22:06

Bài làm: Ta có : A= $\frac{1}{x^{3}(yz+zt+ty)}$+$\frac{1}{y^{3}(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^{3}(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+zx)}$= $\sum \frac{1}{x^{3}(yz+zt+ty)}$

Vì xyzt=1 => A= $\sum \frac{1}{x^{2}(\frac{1}{t}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}$

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c;\frac{1}{t}=d$ => abcd=1 => A= $\sum \frac{a^{2}}{b+c+d}$

Áp dụng bất đẳng thúc  B-C-S dạng phân thức và bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có :

A= $\sum \frac{a^{2}}{b+c+d}$ $\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{3(a+b+c+d)}$$=\frac{a+b+c+d}{3}\geq \frac{4\sqrt[4]{abcd}}{3}=\frac{4}{3}$. Bất đẳng thức được chứng minh.

Dấu bằng xảy ra <=> $\left\{\begin{matrix} abcd=1\\ a=b=c=d \end{matrix}\right.$=> a=b=c=d=1 =>x=y=z=t=1.

 



#9 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 24-05-2014 - 07:13

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Bài làm của thí sinh $MHS09$

Giải.

Đặt $S=\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}$, ta có:

$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}=\frac{1}{x^3yzt(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}=\frac{1}{x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}$ (Do $xyzt=1$)

Tương tự:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}=\frac{1}{y^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}\\ \frac{1}{z^3(yx+xt+ty)}=\frac{1}{z^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t})}\\ \frac{1}{t^3(yz+zx+xy)}=\frac{1}{t^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x})} \end{matrix}\right.$$

Mặt khác, ta có: $\frac{1}{x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}+\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{9}\geq 2\sqrt{\frac{1}{x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}.\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{9}}=\frac{2}{3x}$ (bất đẳng thức $Cauchy$)

Tương tự: $$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{y^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}+\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{9}\geq \frac{2}{3y}\\ \frac{1}{z^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t})}+\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t}}{9}\geq \frac{2}{3z}\\ \frac{1}{t^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x})}+\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}}{9}\geq \frac{2}{3t} \end{matrix}\right.$$

Cộng theo vế, ta được: $S+\frac{1}{3}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )\geq \frac{2}{3}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )\\ \Leftrightarrow S\geq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ cho bốn số dương, ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{xyzt}}=4$

Suy ra $S\geq \frac{4}{3}$

Vậy $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3},$ $\forall x,y,z,t> 0; xyzt=1$

P/s: Em may quá mấy bác ạ, trúng tủ  :icon6: 


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#10 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 24-05-2014 - 07:14

 

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Bài làm của thí sinh $MHS09$

Giải.

Đặt $S=\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}$, ta có:

$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}=\frac{1}{x^3yzt(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}=\frac{1}{x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}$ (Do $xyzt=1$)

Tương tự:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}=\frac{1}{y^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}\\ \frac{1}{z^3(yx+xt+ty)}=\frac{1}{z^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t})}\\ \frac{1}{t^3(yz+zx+xy)}=\frac{1}{t^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x})} \end{matrix}\right.$$

Mặt khác, ta có: $\frac{1}{x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}+\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{9}\geq 2\sqrt{\frac{1}{x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}.\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{9}}=\frac{2}{3x}$ (bất đẳng thức $Cauchy$)

Tương tự: $$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{y^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})}+\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}{9}\geq \frac{2}{3y}\\ \frac{1}{z^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t})}+\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t}}{9}\geq \frac{2}{3z}\\ \frac{1}{t^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x})}+\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}}{9}\geq \frac{2}{3t} \end{matrix}\right.$$

Cộng theo vế, ta được: $S+\frac{1}{3}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )\geq \frac{2}{3}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )\\ \Leftrightarrow S\geq \frac{1}{3}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy$ cho bốn số dương, ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\geq \frac{4}{\sqrt[4]{xyzt}}=4$

Suy ra $S\geq \frac{4}{3}$

Vậy $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3},$ $\forall x,y,z,t> 0; xyzt=1$

P/s: Em may quá mấy bác ạ, trúng tủ  :icon6: 


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#11 diepviennhi

diepviennhi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-05-2014 - 12:22

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Trước hết ta chứng minh Bất Đẳng thức Sau: BĐT Cauchy - Schwar 

$\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y} \geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}$ Với $ a;b;x;y >0$

Thật vậy BĐT $\Leftrightarrow \frac{a^{2}y+b^{2}x}{xy}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+2ab}{x+y}\Leftrightarrow a^{2}xy+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}+b^{2}xy\geq a^{2}xy+b^{2}xy+2abxy\Leftrightarrow (ay-bx)^{2} \geq 0$ Luôn đúng

Dấu $"="$ xảy ra khi $ ay=bx$

Áp dụng ta có $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}+\frac{d^{2}}{t}\geq \frac{(a+b)^{2}}{x+y}+\frac{(c+d)^{2}}{z+t}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{x+y+z+t}$

Ta có BĐT $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}+\frac{d^{2}}{t}\geq \frac{(a+b+c+d)^{2}}{x+y+z+t} (*) $

Quay trở lại bài toán ta thấy :

Do $xyzt=1\rightarrow \frac{1}{x^{2}}=(yzt)^{2};\frac{1}{y^{2}}=(ztx)^{2},\frac{1}{z^{2}}=(txy)^{2},\frac{1}{t^{2}}=(xyz)^{2}$

Dẫn đến $\frac{1}{x^{3}(yz+zt+ty)}=\frac{(yzt)^{2}}{xyz+xzt+zty};\frac{1}{y^{3}(xz+zt+tx)}=\frac{(ztx)^{2}}{xyz+yzt+xyt};\frac{1}{z^{3}(xt+ty+yx)}=\frac{(xyt)^{2}}{xzt+yzt+xyz};\frac{1}{t^{3}(xy+yz+zx)}=$

$P=\frac{1}{x^{3}(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^{3}(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^{3}(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^{3}(xy+yz+zx)}=\frac{(yzt)^{2}}{xyz+xzt+zty}+\frac{(ztx)^{2}}{xyz+yzt+xyt}+\frac{(xyt)^{2}}{xzt+yzt+xyz}+\frac{(xyz)^{2}}{xyt+yzt+xzt} \geq \frac{(xyz+xyt+xzt+yzt)^{2}}{3(xyz+xyt+xzt+yzt)}=\frac{(xyz+xyt+yzt+xzt)}{3}\geq\frac{4.\sqrt[4]{(xyzt)^{3}}}{3}=\frac{4}{3}$

Vậy BĐT được chứng minh;

Dấu $ "="$ đạt tại $ x=y=z=t=1$

Nên Kết hợp với (*) ta có 



#12 nguyenhongsonk612

nguyenhongsonk612

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1452 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{KSTN - ĐTVT - ĐHBKHN}$
  • Sở thích:$\textrm{Nghe nhạc không lời}$

Đã gửi 24-05-2014 - 12:34

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Lời giải:

Ta có: 

$\sum \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}= \sum \frac{1}{x^2(xyz+xzt+xty)}= \sum \frac{y^2z^2t^2}{xyz+xzt+xty}$ (do $xyzt=1$)

Áp dụng BĐT S-vác, ta có:

$\sum \frac{y^2z^2t^2}{xyz+xzt+xty}\geq \frac{(\sum yzt)^2}{3(\sum yzt)}= \frac{\sum yzt}{3}$

Mặt khác, theo BĐT Cô-si ta có:

$\sum yzt\geq 4\sqrt[4]{x^3y^3z^3t^3}=4$ (do $xyzt=1$)

$\Rightarrow \sum \frac{y^2z^2t^2}{xyz+xzt+xty}\geq \frac{4}{3}$

BĐT được chứng minh

Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=z=t=1$

Mình không phải toán thủ thi đấu!


"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")

~O) 


#13 megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-05-2014 - 15:05

Đặt $P=\frac{1}{x^{3}\left ( yz+zt+ty \right )}+\frac{1}{y^{3}\left ( xz+zt+tx \right )}+\frac{1}{z^{3}\left ( xy+yt+tx \right )}+\frac{1}{t^{3}\left ( xy+yz+zx \right )}$

và $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}= c;\frac{1}{t}= d$ nên abcd=1

Ta có :$P= \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}+\frac{\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}}+\frac{\frac{1}{z^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{t}}+\frac{\frac{1}{t^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}$ (vì xyzt=1)

$\Rightarrow P=\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b^{2}}{a+c+d}+\frac{c^{2}}{a+b+d}+\frac{d^{2}}{a+b+c}\geq \frac{\left ( a+b+c+d \right )^{2}}{3\left ( a+b+c+d \right )}$

$\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c+d}{3}\geq \frac{4\sqrt[4]{abcd}}{3}= \frac{4}{3}$

Vậy $P\geq \frac{4}{3}$và dấu bằng xảy ra khi x=y=z=t=1



#14 vipkutepro

vipkutepro

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Đã gửi 24-05-2014 - 15:32

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Giải:

Ta có:

$P= \frac{1}{x^{3}\left ( yz+zt+ty \right )}+\frac{1}{y^{3}\left (xz+zt+tx \right )}+\frac{1}{z^{3}\left ( xt+ty+yx \right )}+\frac{1}{t^{3}\left ( xy+yz+zx \right )}$

    $=\frac{xyzt}{x^{3}\left ( yz+zt+ty \right )}+\frac{xyzt}{y^{3}\left (xz+zt+tx \right )}+\frac{xyzt}{z^{3}\left (xt+ty+yx \right )}+\frac{xyzt}{t^{3}\left (xy+yz+zx \right )}$

    $=\frac{yzt}{x^{2}\left ( yz+zt+ty \right )}+\frac{xzt}{y^{2}\left (xz+zt+tx \right )}+\frac{xyt}{z^{2}\left (xt+ty+yx \right )}+\frac{xyz}{t^{2}\left (xy+yz+zx \right )}$

    $=\frac{1}{x^{2}\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )}+\frac{1}{y^{2}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t} \right )}+\frac{1}{z^{2}\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{t} \right )}+\frac{1}{t^{2}\left ( \frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x} \right )}$

Đặt: $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z};d=\frac{1}{t}$. Do $xyzt=1$ nên $abcd=1$.$(a, b, c, d>0)$

Khi đó: $P=\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b^{2}}{a+c+d}+\frac{c^{2}}{a+b+d}+\frac{d^{2}}{a+b+c}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực dương, ta có:

   *$\frac{a^{2}}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{9}\geq 2\sqrt{\left (\frac{a^{2}}{b+c+d} \right ).\left (\frac{b+c+d}{9} \right )}=\frac{2}{3}a.$

   *$\frac{b^{2}}{a+c+d}+\frac{a+c+d}{9}\geq \frac{2}{3}b.$

   *$\frac{c^{2}}{a+b+d}+\frac{a+b+d}{9}\geq \frac{2}{3}c.$

   *$\frac{d^{2}}{a+b+c}+\frac{a+b+c}{9}\geq \frac{2}{3}d.$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta có: $P+\frac{3\left ( a+b+c+d \right )}{9}\geq \frac{2}{3}\left ( a+b+c+d \right )$

                                                                    $\Leftrightarrow P\geq \frac{1}{3}\left ( a+b+c+d \right )\geq \frac{1}{3}.4\sqrt[4]{abcd}=\frac{4}{3}$ (Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số dương)

Do đó: $P\geq \frac{4}{3}$$\Rightarrow đpcm$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=d$ hay $x=y=z=t=1$



#15 Phuong Thu Quoc

Phuong Thu Quoc

    Trung úy

  • Thành viên
  • 784 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 24-05-2014 - 20:43

Mình không phải là toán thủ thi đấu

Theo BDT Cauchy-Schwarz ta có $\sum \frac{1}{x^{3}\left ( yz+zt+ty \right )}.\sum x\left ( yz+zt+ty \right )\geq \left ( \sum \frac{1}{x} \right )^{2}=\left ( yzt+ztx+txy+xyz \right )^{2}$ ( vì $xyzt=1$ )

Nên $\Rightarrow \sum \frac{1}{x^{3}\left ( yz+zt+ty \right )}\geq \frac{xyz+yzt+ztx+txy}{3}\geq \frac{4\sqrt[4]{\left ( xyz \right )^{3}}}{3}=\frac{4}{3}$ ( theo AM-GM )

BDT được chứng minh.

­


Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối

 

Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.

 

 


#16 19kvh97

19kvh97

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 423 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:12a1 THPT Mỹ Đức B Hà Nội
  • Sở thích:nghe nhạc,và lục lọi các bài toán

Đã gửi 24-05-2014 - 22:01

Mở rộng: 

Cho $\prod_{i= 1}^{n}x_i=1$. CMR 

$P=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i^3(\sum_{k=1}^{n}(x_1.x_2...x_k.x_{k+2}...x_{i-1}.x_{i+1}..x_n))}\geq \frac{n}{n-1}$

Bài làm

ta có  $P=\sum_{i=1}^{n}\frac{\prod_{m=1,m\neq i}^{n}}{x_i^2(\sum_{k=1}^{n}(x_1.x_2...x_k.x_{k+2}...x_{i-1}.x_{i+1}..x_n))}= \sum_{i=1}^{n}\frac{\frac{1}{x_i^2}}{(\sum_{k=1,k\neq i}^{n}\frac{1}{x_k})}$

do đó theo schwartz ta có

$P\geq \frac{\sum_{k= 1}^{n}\frac{1}{x_k}}{n-1}\geq \frac{n}{n-1}$ (đpcm)



#17 yeutoan2604

yeutoan2604

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 281 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Nguyễn Văn Trỗi tp Thanh Hóa
  • Sở thích:Toán , Lý thích xem doraemon và conan

Đã gửi 25-05-2014 - 10:16

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Mình không phải là toán thủ thi đấu$\frac{\frac{1}{x^{2}}}{x(yz+zt+ty)}+\frac{\frac{1}{y^{2}}}{y(xz+zt+tx)}+\frac{\frac{1}{z^{2}}}{z(xt+ty+yx)}+\frac{\frac{1}{t^{2}}}{t(xy+yz+zx)}\geq \frac{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})^{2}}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}=\frac{(xyz+xzt+xyt+yzt)^{2}}{3(xyz+xzt+xyt+yzt)}\geq \frac{4\sqrt[4]{(xyzt)^{3}}}{3}=\frac{4}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=t=1


:closedeyes: Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn  :closedeyes:

                

                Isaac Newton

                                                                                              7.gif


#18 phatthemkem

phatthemkem

    Trung úy

  • Thành viên
  • 910 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tường THPT số 1 Đức Phổ, huyện Đức Phổ, tỉnh Quảng Ngãi
  • Sở thích:Ăn kem

Đã gửi 25-05-2014 - 11:39

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Mở rộng.

Cho $6$ số dương $a,b,c,d,e,n$ thỏa $abcde=n^5$, ta luôn có:

$$\frac{1}{a^4\left ( bcd+bce+bde+cde \right )}+\frac{1}{b^4\left ( acd+ace+ade+cde \right )}+\frac{1}{c^4\left ( bad+bae+bde+ade \right )}+\frac{1}{d^4\left ( bca+bce+bae+cae \right )}+\frac{1}{e^4\left ( bcd+bca+bda+cda \right )}\geq \frac{5}{4n^7}$$

 

Chứng minh.

Ta có: $\frac{1}{a^4\left ( bcd+bce+bde+cde \right )}=\frac{1}{a^3abcde\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} \right )}=\frac{1}{a^3n^5\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} \right )}$

Tương tự $$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b^4\left ( acd+ace+ade+cde \right )}=\frac{1}{b^3n^5\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} \right )}\\ \frac{1}{c^4\left ( bad+bae+bde+ade \right )}=\frac{1}{c^3n^5\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} \right )}\\ \frac{1}{d^4\left ( bca+bce+bae+cae \right )}=\frac{1}{d^3n^5\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{e} \right )}\\ \frac{1}{e^4\left ( bcd+bca+bda+cda \right )}=\frac{1}{e^3n^5\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a} \right )} \end{matrix}\right.$$

Ta có: $\frac{1}{a^3n^5\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} \right )}+\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} }{16n^6}+\frac{1}{4n^7}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3n^5\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} \right )}.\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} }{16n^6}.\frac{1}{4n^7}}=\frac{3}{4n^6}.\frac{1}{a}$ (bất đẳng thức $Cauchy$ cho $3$ số dương)

Tương tự $$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b^3n^5\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} \right )}+\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} }{16n^6}+\frac{1}{4n^7}\geq \frac{3}{4n^6}.\frac{1}{b}\\ \frac{1}{c^3n^5\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} \right )}+\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} }{16n^6}+\frac{1}{4n^7}\geq \frac{3}{4n^6}.\frac{1}{c}\\ \frac{1}{d^3n^5\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{e} \right )}+\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{e} }{16n^6}+\frac{1}{4n^7}\geq \frac{3}{4n^6}.\frac{1}{d}\\ \frac{1}{e^3n^5\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a} \right )}+\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{a} }{16n^6}+\frac{1}{4n^7}\geq \frac{3}{4n^6}.\frac{1}{e} \end{matrix}\right.$$

Cộng theo vế, rút gọn, ta được

$\frac{1}{a^4\left ( bcd+bce+bde+cde \right )}+\frac{1}{b^4\left ( acd+ace+ade+cde \right )}+\frac{1}{c^4\left ( bad+bae+bde+ade \right )}+\frac{1}{d^4\left ( bca+bce+bae+cae \right )}+\frac{1}{e^4\left ( bcd+bca+bda+cda \right )}+\frac{5}{4n^7}\geq \frac{1}{2n^6}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e} \right )\geq \frac{5}{2n^7}$ (bất đẳng thức $Cauchy$ cho $5$ số dương)

Suy ra $\frac{1}{a^4\left ( bcd+bce+bde+cde \right )}+\frac{1}{b^4\left ( acd+ace+ade+cde \right )}+\frac{1}{c^4\left ( bad+bae+bde+ade \right )}+\frac{1}{d^4\left ( bca+bce+bae+cae \right )}+\frac{1}{e^4\left ( bcd+bca+bda+cda \right )}\geq \frac{5}{4n^7}$ (Chứng minh xong)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=e=n$


  Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại

 

ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot

 

  “Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn

 

những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”

 

-Mark Twain

:botay :like :icon10: Huỳnh Tiến Phát ETP :icon10: :like :botay

$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39


#19 nhatlinh3005

nhatlinh3005

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-05-2014 - 23:58

Cho các số thực dương $x,y,z,t$ thỏa mãn $xyzt=1$.Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$$

Đề của 

DucHuyen1604

Ta có:

$\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t}$

$= \frac{xyzt}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{yz+zt+ty}{9yzt}$     (với xyzt=1)

$= \frac{yzt}{x^2(yz+zt+ty)}+\frac{yz+zt+ty}{9yzt}\geq 2\sqrt{\frac{1}{9x^2}}$    =$\frac{2}{3x}$         (theo BĐTCô-si)

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}\geq \frac{2}{3x}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t})$

Tương tự ta có:

$\Leftrightarrow \frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}\geq \frac{2}{3y}-(\frac{1}{9x}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9t})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{z^3(yx+zt+tx)}\geq \frac{2}{3z}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9x}+\frac{1}{9t})$

$\Leftrightarrow \frac{1}{t^3(yz+zx+xy)}\geq \frac{2}{3t}-(\frac{1}{9y}+\frac{1}{9z}+\frac{1}{9x})$

Khi đó:

$ \frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq (\frac{2}{3x}+\frac{2}{3y}+\frac{2}{3z} +\frac{2}{3t})-(\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}+\frac{1}{3z}+\frac{1}{3t})$$= \frac{1}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t})\geq \frac{4}{3}\sqrt[4]{\frac{1}{xyzt}}=\frac{4}{3}$

vậy $\frac{1}{x^3(yz+zt+ty)}+\frac{1}{y^3(xz+zt+tx)}+\frac{1}{z^3(xt+ty+yx)}+\frac{1}{t^3(xy+yz+zx)}\geq \frac{4}{3}$


Linh


#20 E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản trị
  • 3823 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Toán và thơ

Đã gửi 26-05-2014 - 10:40

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh