Đến nội dung

Hình ảnh

Trận 10 - Bất đẳng thức

mo 2014

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Vào hồi 20h00, Thứ Sáu, ngày 26/05/2014, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.
 

 

 

 

II - Lưu ý

1) Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.


Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi LATEX trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

 

 
Để sử dụng chức năng xem trước, bạn click vào Sử dụng bộ soạn thảo đầy đủ và chọn Xem trước.

 


2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn

 

3) Thành viên diễn đàn không đăng kí thi đấu vẫn có thể giải bài, nhưng phải ghi rõ là: Mình không phải là toán thủ thi đấu

 

4) Trận 10 sẽ loại 4 toán thủ có số điểm thấp nhất


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+xz=3xyz$. Chứng minh rằng : 

$$\sum \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)(1+xy)} \leq \frac{3}{4}$$

Đề của 

Twisted Fate


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
hoangson2598

hoangson2598

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 325 Bài viết

Từ giả thiết, ta có:

$xy+xz+yz=3xyz\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$

Đặt $\frac{1}{x}=a, \frac{1}{y}=b, \frac{1}{z}=c$

$\Rightarrow a+b+c=3\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\geq 1$

Ta có: $\sum \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)(1+xy)}\leq \sum \frac{x^2y^2}{2xy(1+xy)}=\sum \frac{xy}{2(1+xy)}=\sum \frac{1}{2(\frac{1}{xy}+1)}=\sum \frac{1}{2(ab+1)}$

Mà: $abc\geq 1\Leftrightarrow ab\geq \frac{1}{c}\Rightarrow \sum \frac{1}{2(ab+1)}\leq \sum \frac{1}{2(\frac{1}{c}+1)}$

Ad cosi: $\sum \frac{1}{2(\frac{1}{c}+1)}\leq \frac{1}{8}\sum (c+1)=\frac{a+b+c+3}{8}=\frac{3}{4}$

Vậy bdy được cm. Dấu = xảy ra khi x=y=z=1


                  :like  :like  :like  :like  :like  Thằng đần nào cũng có thể biết. Vấn đề là phải hiểu.    :like  :like  :like  :like  :like 

                                                                    

                                                                       Albert Einstein

 

                                        :icon6: My Facebookhttps://www.facebook...100009463246438  :icon6:


#4
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+xz=3xyz$. Chứng minh rằng : 

$$\sum \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)(1+xy)} \leq \frac{3}{4}$$

Đề của 

Twisted Fate

Bài làm của MSS 10

Bổ đề 1: Với mọi số thực dương $a, b$ ta có $\dfrac{4}{a+b}\leq \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$

Chứng minh

Bất đẳng thức tương đương $(a-b)^2\geq 0$ $($Đúng$)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b$

 

Bổ đề 2: Với mọi số thực $a,b,c$ ta có $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$

Chứng minh

Bất đẳng thức tương đương $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0$ $($Đúng$)$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

 

Trở lại bài toán

Ta có $xy+yz+zx=3xyz \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3$

 

Đặt $\dfrac{1}{x}=a, \dfrac{1}{y}=b, \dfrac{1}{z}=c$ thì $a+b+c=3,\ a,b,c>0$

 

Khi đó, bất đẳng thức đã cho trở thành

$$\sum \dfrac{ab}{(a^2+b^2)(ab+1)} \leq \dfrac{3}{4}$$

Áp bổ đề 1, ta có:

$$\sum \dfrac{ab}{(a^2+b^2)(ab+1)} \leq \dfrac{1}{4} \left ( \sum \dfrac{ab}{a^2+b^2}+\sum \dfrac{ab}{ab+1} \right )$$

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số dương, ta có

$$\sum \dfrac{ab}{a^2+b^2}+\sum \dfrac{ab}{ab+1}\leq \sum \dfrac{ab}{2ab}+\sum \dfrac{ab}{2\sqrt{ab}}=\dfrac{3}{2}+\sum \dfrac{\sqrt{ab}}{2}$$

Như vậy cần chứng minh

$$\sum \sqrt{ab} \leq 3$$ 

Theo bổ đề 2, ta có: $\sum \sqrt{ab} \leq \sum a=3$

 

Vậy ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1 \Leftrightarrow x=y=z=1$



#5
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết

Bài vừa rồi em gửi nhầm ạ, BQT đừng chấm.



#6
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

Cho 3 số dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+xz=3xyz$. Chứng minh rằng : 

$$\sum \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)(1+xy)} \leq \frac{3}{4}$$

Đề của 

Twisted Fate

em không phải toán thủ thi đấu

bđt$\Leftrightarrow \sum \frac{4x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})(1+xy)}\leq \sum \frac{1}{x}$

ta cần chứng minh

$\frac{8x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})(1+xy)}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

$\Leftrightarrow (x+y)(x^{2}+y^{2})(1+xy)\geq 8x^{2}y^{2}$(đúng theo Cô-si)

thiết lập các bđt tương tự ta có đpcm

dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=1$



#7
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết

Đặt $a =\frac{1}{x} ,b =\frac{1}{y} ,c =\frac{1}{z}$

Thay vào điều kiện ta có a+b+c=3

Thay vào bất đẳng thức . Ta cần chứng minh $\sum \frac{ab}{(a^2+b^2)(1+ab)}  \leq \frac{3}{4}$

$\sum \frac{ab}{(a^2+b^2)(1+ab)} =\sum \frac{ab}{ab(a^2+b^2) +a^2+b^2} \leq \sum \frac{ab}{ab(a^2+b^2+2)} =\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}$

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2} \leq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2 +2} \geq \frac{3}{2}$

Mà $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2 +2} \geq \frac{ (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$

Ta sẽ chứng minh

$\frac{ (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6} \geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2) +18$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2+c^2} +2 \sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2} +2\sqrt{c^2+a^2}\sqrt{a^2+b^2} \geq a^2+b^2+c^2 +18$

Mà $2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2+c^2} +2 \sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2} +2\sqrt{c^2+a^2}\sqrt{a^2+b^2} \geq \sum 2(b^2 +ac)=(a+b+c)^2 +a^2+b^2+c^2 \geq 18 +a^2+b^2+c^2 .$

Như vậy ta có dpcm 

Vậy BĐT cần chứng minh đúng .Dấu = xảy ra khi x=y=z =1



#8
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Trận đấu đã kết thúc, mời các toán thủ nhận xét bài làm của nhau


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#9
megamewtwo

megamewtwo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết

Từ giả thiết, ta có:

$xy+xz+yz=3xyz\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$

Đặt $\frac{1}{x}=a, \frac{1}{y}=b, \frac{1}{z}=c$

$\Rightarrow a+b+c=3\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow abc\geq 1$

Ta có: $\sum \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)(1+xy)}\leq \sum \frac{x^2y^2}{2xy(1+xy)}=\sum \frac{xy}{2(1+xy)}=\sum \frac{1}{2(\frac{1}{xy}+1)}=\sum \frac{1}{2(ab+1)}$

Mà: $abc\geq 1\Leftrightarrow ab\geq \frac{1}{c}\Rightarrow \sum \frac{1}{2(ab+1)}\leq \sum \frac{1}{2(\frac{1}{c}+1)}$

Ad cosi: $\sum \frac{1}{2(\frac{1}{c}+1)}\leq \frac{1}{8}\sum (c+1)=\frac{a+b+c+3}{8}=\frac{3}{4}$

Vậy bdy được cm. Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

Bất đẳng thức bị ngược dấu rồi : $abc\leq 1$



#10
nguyenqn1998

nguyenqn1998

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 173 Bài viết

Đặt $a =\frac{1}{x} ,b =\frac{1}{y} ,c =\frac{1}{z}$

Thay vào điều kiện ta có a+b+c=3

Thay vào bất đẳng thức . Ta cần chứng minh $\sum \frac{ab}{(a^2+b^2)(1+ab)}  \leq \frac{3}{4}$

$\sum \frac{ab}{(a^2+b^2)(1+ab)} =\sum \frac{ab}{ab(a^2+b^2) +a^2+b^2} \leq \sum \frac{ab}{ab(a^2+b^2+2)} =\sum \frac{1}{a^2+b^2+2}$

Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{1}{a^2+b^2+2} \leq \frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2 +2} \geq \frac{3}{2}$

Mà $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+b^2 +2} \geq \frac{ (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6}$

Ta sẽ chứng minh

$\frac{ (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2}{2(a^2+b^2+c^2)+6} \geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow (\sum \sqrt{a^2+b^2})^2 \geq 3(a^2+b^2+c^2) +18$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2+c^2} +2 \sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2} +2\sqrt{c^2+a^2}\sqrt{a^2+b^2} \geq a^2+b^2+c^2 +18$

Mà $2\sqrt{a^2+b^2}\sqrt{b^2+c^2} +2 \sqrt{b^2+c^2}\sqrt{c^2+a^2} +2\sqrt{c^2+a^2}\sqrt{a^2+b^2} \geq \sum 2(b^2 +ac)=(a+b+c)^2 +a^2+b^2+c^2 \geq 18 +a^2+b^2+c^2 .$

Như vậy ta có dpcm 

Vậy BĐT cần chứng minh đúng .Dấu = xảy ra khi x=y=z =1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenqn1998: 26-05-2014 - 17:11






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: mo 2014

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh