Cho a+b+c=3. Tìm Max của P=$(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2})$
P=$(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2})$
#1
Đã gửi 23-05-2014 - 21:16
#2
Đã gửi 23-05-2014 - 21:34
Cho a+b+c=3. Tìm Max của P=$(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2})$
Ko mất tính tổng quát giả sử $0\leq c\leq b\leq a$
Ta có:
$b^{2}-bc+c^{2}=b^{2}+c(c-b)\leq b^{2}$
$a^{2}-ac+c^{2}\leq a^{2}+c(c-a)\leq a^{2}$
=> P $\leq a^{2}.b^{2}.(a^{2}-ab+b^{2})=\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}.(a^{2}-ab+b^{2}).\frac{4}{9}\leq \left [ \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{3} \right ]^{3}.\frac{4}{9}=\frac{(3-c)^{6}}{27}.\frac{4}{9}\leq 12$
Vậy Max P = 12. Dấu = khi a = 2; b = 1; c = 0 và hoán vị
- canhhoang30011999, hoangmanhquan và LCcau thích
#3
Đã gửi 23-05-2014 - 21:35
Cho a+b+c=3. Tìm Max của P=$(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2})$
Bài này thiếu điều kiện $a,b,c\geq 0$
Bài làm : Giả sử : $min\left \{ a,b,c \right \}=c$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2-ac+c^2\leq a^2\\ b^2+c^2-bc\leq b^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow P\leq a^2b^2\left ( a^2+b^2-ab \right )=\frac{4}{9}\left ( \frac{3ab}{2} \right )\left ( \frac{3ab}{2} \right )\left ( a^2+b^2-ab \right )\leq \frac{4}{9}\left [ \frac{\left ( a+b \right )^2}{3} \right ]^{3}\leq \frac{4}{9}\left [ \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{3} \right ]^3=12$
- canhhoang30011999 và hoangmanhquan thích
Issac Newton
#4
Đã gửi 23-05-2014 - 21:36
Ko mất tính tổng quát giả sử $0\leq c\leq b\leq a$
Ta có:
$b^{2}-bc+c^{2}=b^{2}+c(c-b)\leq b^{2}$
$a^{2}-ac+c^{2}\leq a^{2}+c(c-a)\leq a^{2}$
=> P $\leq a^{2}.b^{2}.(a^{2}-ab+b^{2})=\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}.(a^{2}-ab+b^{2}).\frac{4}{9}\leq \left [ \frac{a^{2}+2ab+b^{2}}{3} \right ]^{3}.\frac{4}{9}=\frac{(3-c)^{6}}{27}.\frac{4}{9}\leq 12$
Vậy Max P = 12. Dấu = khi a = 2; b = 1; c = 0 và hoán vị
Bài thiếu điều kiện, nên giả sử này nhầm
Issac Newton
#5
Đã gửi 23-05-2014 - 21:37
Cho a+b+c=3. Tìm Max của P=$(a^{2}-ab+b^{2})(b^{2}-bc+c^{2})(c^{2}-ca+a^{2})$
Không mất tính tổng quát giả sử $a\geqslant b\geqslant c$
Khi đó
$\left\{\begin{matrix} c(b-c)\geqslant 0 & \\ c(a-c)\geqslant 0 & \end{matrix}\right.\Rightarrow P\leqslant a^2b^2(a^2-ab+b^2)$
Xét $\frac{9}{4}P\leqslant \frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}(a^2-ab+b^2)\leqslant \frac{1}{27}(a^2+2ab+b^2)^3$
$\leqslant \frac{1}{27}(a+b)^6=\frac{1}{27}(3-c)^6\leqslant \frac{3^6}{27}=12$
Dấu $=$ xảy ra khi $(a;b;c)=(2;1;0)$ và hoán vị
- Vu Thuy Linh và hoangmanhquan thích
#6
Đã gửi 23-05-2014 - 21:38
Bài thiếu điều kiện, nên giả sử này nhầm
bài thiếu điều kiện chứ cách làm thì có thế nào đâu
Bài này thiếu điều kiện $a,b,c\geq 0$
Bài làm : Giả sử : $min\left \{ a,b,c \right \}=c$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2-ac+c^2\leq a^2\\ b^2+c^2-bc\leq b^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow P\leq a^2b^2\left ( a^2+b^2-ab \right )=\frac{4}{9}\left ( \frac{3ab}{2} \right )\left ( \frac{3ab}{2} \right )\left ( a^2+b^2-ab \right )\leq \frac{4}{9}\left [ \frac{\left ( a+b \right )^2}{3} \right ]^{3}\leq \frac{4}{9}\left [ \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{3} \right ]^3=12$
bài này cũng thiếu Đk nên cách này cũng ko đc
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vu Thuy Linh: 23-05-2014 - 21:39
#7
Đã gửi 23-05-2014 - 21:39
bài thiếu điều kiện chứ cách làm thì có thế nào đâu
bài này cũng thiếu Đk
mk có nếu bài này thiếu ĐK mà
Bài này thiếu điều kiện $a,b,c\geq 0$
Bài làm : Giả sử : $min\left \{ a,b,c \right \}=c$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^2-ac+c^2\leq a^2\\ b^2+c^2-bc\leq b^2 \end{matrix}\right.\Rightarrow P\leq a^2b^2\left ( a^2+b^2-ab \right )=\frac{4}{9}\left ( \frac{3ab}{2} \right )\left ( \frac{3ab}{2} \right )\left ( a^2+b^2-ab \right )\leq \frac{4}{9}\left [ \frac{\left ( a+b \right )^2}{3} \right ]^{3}\leq \frac{4}{9}\left [ \frac{\left ( a+b+c \right )^2}{3} \right ]^3=12$
Issac Newton
#8
Đã gửi 23-05-2014 - 21:42
mk có nếu bài này thiếu ĐK mà
mk tôn trọng tác giả nên ko sửa
mà bài mk cũng có $0\leq c\leq b\leq a$ mà
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh