Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1547 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đức Thọ - Hà Tĩnh
  • Sở thích:Toán học và thơ

Đã gửi 24-05-2014 - 17:41

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$



#2 Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 24-05-2014 - 17:56

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$

Bài này đặt $b+c-a=x, a+c-b=y,a+b-c=z (x,y,z>0)$ 

Ta có $\frac{2a}{b+c-a}=\frac{y+z}{x}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}$

Tương tự với 2 cái còn lại ta được

$\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{b+a-c}=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{z}{x}+\frac{x}{z})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})\geq 6$



#3 lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 24-05-2014 - 17:59

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$

 

BĐT cần chứng minh 

 

$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{b+c-a}+\frac{a+b+c}{a+c-b}+\frac{a+b+c}{a+b-c}\geqslant 9$

 

BĐT này luôn đúng vì theo S.Vac ta có

 

$(a+b+c)(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a})\geqslant \frac{9(a+b+c)}{a+b+c}=9$

 

Vậy ta có đpcm



#4 buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc
  • Sở thích:kungfu

Đã gửi 24-05-2014 - 19:21

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$

Cách khác: 

$BĐT\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c-a}=\sum \frac{a^{2}}{ab+ac-a^{2}}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)-\sum a^{2}}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum a^{2}\geqslant \sum ab(DPCM)$


Đứng dậy và bước tiếp

#5 HungNT

HungNT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 25-05-2014 - 06:48

Theo AM-GM $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )}}$

$\sqrt{\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )}\leq \frac{1}{2}\left (b+c-a+c+a-b \right )=c$

tương tự $\sqrt{\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )}\leq a$

$\sqrt{\left ( b+c-a \right )\left ( a+b-c \right )}\leq b$

$\Rightarrow \left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )\leq abc$

$\Rightarrow 6\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )}}\geq 6$

$\Rightarrow \frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 25-05-2014 - 07:51





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh