Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Ngoc Hung

Ngoc Hung

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1547 Bài viết

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$



#2
Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$

Bài này đặt $b+c-a=x, a+c-b=y,a+b-c=z (x,y,z>0)$ 

Ta có $\frac{2a}{b+c-a}=\frac{y+z}{x}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}$

Tương tự với 2 cái còn lại ta được

$\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{b+a-c}=(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{z}{x}+\frac{x}{z})+(\frac{y}{z}+\frac{z}{y})\geq 6$



#3
lahantaithe99

lahantaithe99

    Trung úy

  • Thành viên
  • 883 Bài viết

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$

 

BĐT cần chứng minh 

 

$\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{b+c-a}+\frac{a+b+c}{a+c-b}+\frac{a+b+c}{a+b-c}\geqslant 9$

 

BĐT này luôn đúng vì theo S.Vac ta có

 

$(a+b+c)(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a})\geqslant \frac{9(a+b+c)}{a+b+c}=9$

 

Vậy ta có đpcm



#4
buitudong1998

buitudong1998

    Trung úy

  • Thành viên
  • 873 Bài viết

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác. CMR $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{a+c-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$

Cách khác: 

$BĐT\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+c-a}=\sum \frac{a^{2}}{ab+ac-a^{2}}\geqslant \frac{(a+b+c)^{2}}{2(ab+bc+ca)-\sum a^{2}}\geqslant 3\Leftrightarrow \sum a^{2}\geqslant \sum ab(DPCM)$


Đứng dậy và bước tiếp

#5
HungNT

HungNT

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 273 Bài viết

Theo AM-GM $\frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )}}$

$\sqrt{\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )}\leq \frac{1}{2}\left (b+c-a+c+a-b \right )=c$

tương tự $\sqrt{\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )}\leq a$

$\sqrt{\left ( b+c-a \right )\left ( a+b-c \right )}\leq b$

$\Rightarrow \left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )\leq abc$

$\Rightarrow 6\sqrt[3]{\frac{abc}{\left ( b+c-a \right )\left ( c+a-b \right )\left ( a+b-c \right )}}\geq 6$

$\Rightarrow \frac{2a}{b+c-a}+\frac{2b}{c+a-b}+\frac{2c}{a+b-c}\geq 6$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungNT: 25-05-2014 - 07:51





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh