Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $xyz=1$. Chứng minh rằng : $3+\sum \frac{x}{y}\geq \sum x+\sum \frac{1}{x}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
letankhang

letankhang

    $\sqrt{MF}'s$ $member$

  • Thành viên
  • 1079 Bài viết

Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa $xyz=1$. Chứng minh rằng :
 $3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 24-05-2014 - 21:24

        :oto:   :nav:  :wub:  $\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $  :wub:   :nav:  :oto:            

  $\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$

 

 


#2
Johan Liebert

Johan Liebert

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Đặt $x=\dfrac{c}{b} \ \ \ \ y=\dfrac{a}{c} \ \ \ \ z=\dfrac{b}{a}$

 

Bất đẳng thức tương đương với:

 

$3+\dfrac{c^2}{ab}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ac} \geq \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}$

 

$\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2(1)$

 

Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$

 

$(1) \leftrightarrow (a-b)^2(a+b-c)+c(c-a)(c-b) \geq 0$(luôn đúng)

 

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c \leftrightarrow x=y=z=1$

 



#3
Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết

Đặt $x=\dfrac{c}{b} \ \ \ \ y=\dfrac{a}{c} \ \ \ \ z=\dfrac{b}{a}$

 

Bất đẳng thức tương đương với:

 

$3+\dfrac{c^2}{ab}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ac} \geq \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}$

 

$\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2(1)$

 

Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$

 

$(1) \leftrightarrow (a-b)^2(a+b-c)+c(c-a)(c-b) \geq 0$(luôn đúng)

 

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c \leftrightarrow x=y=z=1$

Đặt $x=\dfrac{c}{b} \ \ \ \ y=\dfrac{a}{c} \ \ \ \ z=\dfrac{b}{a}$

Bất đẳng thức tương đương với:

$3+\dfrac{c^2}{ab}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ac} \geq \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$

$\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2(1)$

Đến đây BĐT tương đương $a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$ BĐT Schur luôn đúng


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh