Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa $xyz=1$. Chứng minh rằng :
$3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 24-05-2014 - 21:24
Cho $x;y;z$ là các số thực dương thỏa $xyz=1$. Chứng minh rằng :
$3+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 24-05-2014 - 21:24
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Đặt $x=\dfrac{c}{b} \ \ \ \ y=\dfrac{a}{c} \ \ \ \ z=\dfrac{b}{a}$
Bất đẳng thức tương đương với:
$3+\dfrac{c^2}{ab}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ac} \geq \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}$
$\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2(1)$
Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$
$(1) \leftrightarrow (a-b)^2(a+b-c)+c(c-a)(c-b) \geq 0$(luôn đúng)
Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c \leftrightarrow x=y=z=1$
Đặt $x=\dfrac{c}{b} \ \ \ \ y=\dfrac{a}{c} \ \ \ \ z=\dfrac{b}{a}$
Bất đẳng thức tương đương với:
$3+\dfrac{c^2}{ab}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ac} \geq \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}$
$\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2(1)$
Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$
$(1) \leftrightarrow (a-b)^2(a+b-c)+c(c-a)(c-b) \geq 0$(luôn đúng)
Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c \leftrightarrow x=y=z=1$
Đặt $x=\dfrac{c}{b} \ \ \ \ y=\dfrac{a}{c} \ \ \ \ z=\dfrac{b}{a}$
Bất đẳng thức tương đương với:
$3+\dfrac{c^2}{ab}+\dfrac{a^2}{bc}+\dfrac{b^2}{ac} \geq \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}$
$\leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc \geq a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2(1)$
Đến đây BĐT tương đương $a^3+b^3+c^3+3abc \geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)$ BĐT Schur luôn đúng
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh