Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để:
A = $n^{4}+4^{2k+1}$ là số nguyên tố
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để:
A = $n^{4}+4^{2k+1}$ là số nguyên tố
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để:
A = $n^{4}+4^{2k+1}$ là số nguyên tố
Ta có :$A = n^{4}+4^{2k+1}=n^4+4^{2k}.4=a^4+4b^4=\left ( a^2+2b^2 \right )-4b^2=\left ( a^2+2b^2-2b \right )\left ( a^2+2b^2+2b \right )$
với $a=n,b=2^k$
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để:
A = $n^{4}+4^{2k+1}$ là số nguyên tố
Khi $n$ chẵn thì $n^4$ chia hết cho $2$
Mặt khác $4^{2k+1}$ chia hết cho $2$ và $4^{2k+1} >2$ với mọi số tự nhiên $k$
Vậy $A$ không là số nguyên tố
Khi $n$ lẻ :
a/ Khi $n=1,k=0$ thì $A=5$ là số nguyên tố
b/ Khi $n \geq 1, k \geq 1$ , ta chứng minh $A$ không là số nguyên tố:
Ta có : $A = n^{4}+4^{2k+1}=(n^2+2^{2k+1})^2-(n.2^{k+1})^2=\left ( n^2+2^{2k+1}+n.2^{k+1} \right )\left ( ( n^2+2^{2k+1}-n.2^{k+1} \right )$
mà $n^2+2^{2k+1}+n.2^{k+1}$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $n^2+2^{2k+1}-n.2^{k+1}$ là số nguyên . Mặt khác :
$n^2+2^{2k+1}\geq 2.\sqrt{n^2.2^{2k+1}}=2n.2^k.\sqrt{2}\Rightarrow n^2+2^{2k+1}-n.2^{k+1}=n.2^{k+1}.(\sqrt{2}-1)>1$
nên $A$ là hợp số !!!!!!!!
kết luận $A$ là số nguyên tố khi $n=1,k=0$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh