Chủ đề này có 2 trả lời

[Vu Thuy Linh]

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để:

A = $n^{4}+4^{2k+1}$ là số nguyên tố

[Trang Luong]

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để:

A = $n^{4}+4^{2k+1}$ là số nguyên tố

Ta có :$A = n^{4}+4^{2k+1}=n^4+4^{2k}.4=a^4+4b^4=\left ( a^2+2b^2 \right )-4b^2=\left ( a^2+2b^2-2b \right )\left ( a^2+2b^2+2b \right )$

với $a=n,b=2^k$

[Near Ryuzaki]

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên n và k để:

A = $n^{4}+4^{2k+1}$ là số nguyên tố

Khi $n$ chẵn thì $n^4$ chia hết cho $2$

Mặt khác $4^{2k+1}$ chia hết cho $2$ và $4^{2k+1} >2$ với mọi số tự nhiên $k$

Vậy $A$ không là số nguyên tố
Khi $n$ lẻ :
a/ Khi $n=1,k=0$ thì $A=5$ là số nguyên tố

b/ Khi $n \geq 1, k \geq 1$ , ta chứng minh $A$ không là số nguyên tố:

Ta có : $A = n^{4}+4^{2k+1}=(n^2+2^{2k+1})^2-(n.2^{k+1})^2=\left ( n^2+2^{2k+1}+n.2^{k+1} \right )\left ( ( n^2+2^{2k+1}-n.2^{k+1} \right )$

mà $n^2+2^{2k+1}+n.2^{k+1}$ là số nguyên lớn hơn $1$ và $n^2+2^{2k+1}-n.2^{k+1}$ là số nguyên . Mặt khác :

$n^2+2^{2k+1}\geq 2.\sqrt{n^2.2^{2k+1}}=2n.2^k.\sqrt{2}\Rightarrow n^2+2^{2k+1}-n.2^{k+1}=n.2^{k+1}.(\sqrt{2}-1)>1$

nên $A$ là hợp số !!!!!!!!

kết luận $A$ là số nguyên tố khi $n=1,k=0$