Chủ đề này có 1 trả lời

[phathuy]

Bài toán 1. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp vào một hàng ghế gồm có 6 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nam nữ xen kẽ nhau?

Giải

Lời giải 1. Xếp trước 3 bạn nữ, ta được $3!$ cách xếp. Cố định mỗi cách sắp các bạn nữ thì ta thấy có 4 vị trí có thể xếp 3 bạn học sinh nam (gồm 2 chỗ giữa các bạn nữ và 2 chỗ đầu hàng, cuối hàng), có $A_{4}^{3}$ cách xếp như vậy. Do đó có $3!.A_{4}^{3}$ cách xếp.

Đây là lời giải sai, lời giải đúng phải là

Lời giải 2. Nếu bạn nam ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có $3!$ cách xếp bạn nam và $3!$ cách xếp bạn nữ. Nếu bạn nữ ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có $3!$ cách xếp bạn nữ và $3!$ cách xếp bạn nam. Thành ra có $2.{{\left( 3! \right)}^{2}}$ cách xếp.

Thế nhưng vận dụng lời giải 1 vào bài toán sau thì đúng còn lời giải 2 thì không.

Bài toán 2. Mỗi tổ học sinh có 10 bạn trong đó có ba bạn A, B, C hay nói chuyện riêng nên không được xếp cho 3 bạn này đứng cạnh nhau đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tổ học sinh nói trên thành một hàng?

Giải

Xếp 7 học sinh(không có A, B, C) trước ta có $7!$ cách xếp. Cố định mỗi cách xếp 7 học sinh trên, ta có 8 vị trí có thể xếp A, B, C vào đó để thỏa mãn đề bài. Số cách xếp A, B, C là $A_{8}^{3}$. Như vậy có $7!.A_{8}^{3}$ cách xếp thỏa đề.

Các bạn giải thích giúp mình, nếu sử dụng lời giải 1 trong bài toán 1thì sai chỗ nào còn nếu sử dụng lời giải 2 trong bài toán 2 thì sai chỗ nào? Mình mới học về tổ hợp chỉnh hợp nên còn bỡ ngỡ, các bạn cố gắng giúp mình.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phathuy: 26-05-2014 - 06:12

[chanhquocnghiem]

Bài toán 1. Có 3 nam và 3 nữ cần xếp vào một hàng ghế gồm có 6 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp nam nữ xen kẽ nhau?

Giải

Lời giải 1. Xếp trước 3 bạn nữ, ta được $3!$ cách xếp. Cố định mỗi cách sắp các bạn nữ thì ta thấy có 4 vị trí có thể xếp 3 bạn học sinh nam (gồm 2 chỗ giữa các bạn nữ và 2 chỗ đầu hàng, cuối hàng), có $A_{4}^{3}$ cách xếp như vậy. Do đó có $3!.A_{4}^{3}$ cách xếp.

Đây là lời giải sai, lời giải đúng phải là

Lời giải 2. Nếu bạn nam ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có $3!$ cách xếp bạn nam và $3!$ cách xếp bạn nữ. Nếu bạn nữ ngồi ghế đầu tiên của hàng ghế thì có $3!$ cách xếp bạn nữ và $3!$ cách xếp bạn nam. Thành ra có $2.{{\left( 3! \right)}^{2}}$ cách xếp.

Thế nhưng vận dụng lời giải 1 vào bài toán sau thì đúng còn lời giải 2 thì không.

Bài toán 2. Mỗi tổ học sinh có 10 bạn trong đó có ba bạn A, B, C hay nói chuyện riêng nên không được xếp cho 3 bạn này đứng cạnh nhau đôi một. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tổ học sinh nói trên thành một hàng?

Giải

Xếp 7 học sinh(không có A, B, C) trước ta có $7!$ cách xếp. Cố định mỗi cách xếp 7 học sinh trên, ta có 8 vị trí có thể xếp A, B, C vào đó để thỏa mãn đề bài. Số cách xếp A, B, C là $A_{8}^{3}$. Như vậy có $7!.A_{8}^{3}$ cách xếp thỏa đề.

Các bạn giải thích giúp mình, nếu sử dụng lời giải 1 trong bài toán 1thì sai chỗ nào còn nếu sử dụng lời giải 2 trong bài toán 2 thì sai chỗ nào? Mình mới học về tổ hợp chỉnh hợp nên còn bỡ ngỡ, các bạn cố gắng giúp mình.

Ở bài toán 1, số phần tử nam là $x=3$, số phần tử nữ là $y=3$ ($x=y$).

Theo lời giải $1$, đáp án là $6.24=144$ ; theo lời giải $2$, đáp án là $2.6^2=72$ (chênh lệch nhau $72$ cách)

Đó là do trong lời giải $1$, ta đã tính luôn $2$ trường hợp sau :

$a)$ Nam - Nữ - Nữ - Nam - Nữ - Nam : TH này có $\left ( 3! \right )^2=36$ cách

$b)$ Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nữ - Nam : TH này cũng có $\left ( 3! \right )^2=36$ cách

Hai TH này không thỏa mãn yêu cầu đề bài là nam nữ xen kẽ nên lời giải $1$ sai.

 

Ở bài toán $2$, số phần tử $2$ nhóm không bằng nhau (nhóm nhiều hơn là $x=7$, nhóm ít hơn là $y=3$) và yêu cầu tính cách xếp sao cho $2$ phần tử của nhóm ít hơn không đứng cạnh nhau (còn các phần tử của nhóm nhiều hơn có thể đứng cạnh nhau)

Chính vì các phần tử của nhóm nhiều hơn có thể đứng cạnh nhau nên không thể áp dụng lời giải $2$.

Lời giải $2$ chỉ đúng khi đề yêu cầu tính số cách sắp xếp XEN KẼ, tức là $2$ phần tử cùng nhóm không đứng cạnh nhau.

 

Nói thêm về lời giải $2$ : Khi áp dụng lời giải $2$ để tính số cách sắp xếp XEN KẼ, có $3$ TH có thể xảy ra.

Gọi $x$ và $y$ là số phần tử của $2$ nhóm ($x\geqslant y$) :

+ Nếu $x-y=0$ thì số cách sắp xếp xen kẽ là $2.\left ( x! \right )^2$

+ Nếu $x-y=1$ thì số cách sắp xếp xen kẽ là $x!.y!=x!.\left ( x-1 \right )!=\frac{\left ( x! \right )^2}{x}$

+ Nếu $x-y\geqslant 2$ thì số cách sắp xếp xen kẽ là $0$.