Chủ đề này có 1 trả lời

[math1911]

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên tạo với đáy một góc $60^{\circ}$.Một mặt cầu tâm $O$ tiếp xúc với đáy $(ABC)$ tại $A$ và tiếp xúc với $SB$ tại $H$.Hãy xác định vị trí tương đối giũa $H$ và hai điểm $S,B$ và tính diện tích mặt cầu đó.

[math1911]

Gọi $I$ là tâm của tam giác $ABC$,thì $AI=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$,theo đề ra ti ta có:$SA=SB=SC=AI/cos60=\frac{2a\sqrt{3}}{3}$.và $SI=a$

Dễ thấy $\Delta OAB=\Delta OHB(c.g.c)\Rightarrow HB=AB=a$.

vậy $H$ chia $AB$ theo tỷ số:$\frac{HA}{HB}=\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.

Vì $OA\perp (ABC);SI\perp (ABC)\Rightarrow OA//SI$,hạ $OP\perp SI$,đặt $OA=OH=R$(bán kính mặt cầu).$K$ là giao điểm của $OP$ và $SA$ ta có:

$OK=\geq \frac{R\sqrt{3}}{3}\Rightarrow OP=\frac{a\sqrt{3}}{3}-\frac{R\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}(a-R)$ và $SH=\frac{2a\sqrt{3}}{3}-a$;$SP=SI-R=a-R$.Nên ta suy ra:

$SH^{2}+R^{2}=SO^{2}=OP^{2}+SP^{2}\Rightarrow (\frac{2a\sqrt{3}}{3}-a)^{2}+R^{2}=\frac{a^{2}}{3}+(a-R^{2})$

Suy ra:$R=\frac{4a\sqrt{3}+3a}{6}$.

Vậy diẹn tích mặt cầu:$S=4\Pi R^{2}=4\Pi.(\frac{4a\sqrt{3}+3a}{6})^{2}$

 

 

 

 

 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math1911: 27-05-2014 - 15:57