Bài 1:Cho $a,b,c$ là các số thực không âm phân biệt.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]$
Bài 2:Cho $x,y,z \in (0;1]$ thoả mãn $x+y-z \geq 1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của $B=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2}$
Bài 1:Giả sử $ c = min (a,b,c) $.Ta có:$0 <a-c \leq a$ và $0<b-c \leq b$
Khi đó,ta có: $P \geq (a^2+b^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}] =\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$
Đặt :$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x,x>2$.Khi đó ta có:
$\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}=\frac{x}{x-2}$
$(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}) =\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2 =x^2$
Suy ra: $P \geq \frac{x}{x-2}+x^2$.
Xét hàm số: $f(x) =\frac{x}{x-2}+x^2$ với $x>2$
Ta có:$f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2-3x+1)}{(x-2)^2}$.Ta có:$f'(x)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2} >2$
Hàm $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(2;\frac{3+\sqrt{5}}{2})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty)$
Do đó:$MinA=Minf(x)_{x \in (2;+\infty)} =f(\frac{3+\sqrt{5}}{2}) =\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$.Dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $c=0$ và $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ cùng các hoán vị
Chẳng hạn,khi cho $b=1$ thì dấu $"="$ xẩy ra tại $(a;b;c)=(\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{6\sqrt{5}-2}}{4};1;0)$
Bài 2:Theo giả thết ta có:$x+y-z \geq 1$ $\Leftrightarrow$ $x+y \geq 1+z$
Ta có: $B =\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2} =\frac{x^2}{x(y+z)}+\frac{y^2}{y(z+x)}+\frac{z}{xy+z^2}$
Áp dụng Cauchy-Schwars ta có: $B \geq \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{z}{xy+z^2} (1)$
Đặt :$t=x+y$,theo giả thiết ta có:$1+z \leq t \leq 2$ và $xy \leq \frac {t^2}{4} (2)$
Theo $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được:$B \geq \frac{2t^2}{t^2+2zt}+\frac{4z}{t^2+z^2}=f(t)$.Xét hàm $f(t)$ trên $[1+z;2]$ ta có
$f'(t) = 4zt [\frac{t}{ (t^2+2zt)^2}-\frac{2}{(t^2+4z^2)}]$,mặt khác do $t \geq z+1$ và $z \leq 1$ nên $2zt \geq 4z^2$ suy ra $\frac{t}{(t^2+2zt )^2}\leq \frac{2}{t^2+4z^2}$ $\Rightarrow$ hàm $f(t)$ nghịch biến với mọi $t \in [z+1;2]$ $\Rightarrow$ $f(t) \geq f(2)=\frac{2}{1+z}+\frac{z}{z^2+1}=g(z)$
Khảo sát hàm $g(z)$ trên $(0;1]$ ta có:$g'(z)=-\frac{2}{(1+z)^2} +\frac{1-z^2}{(z^2+1)^2} \leq 0$ với mọi $z \in (0;1]$.Suy ra,hàm $g(z)$ nghich biến trên $(0;1]$
Suy ra,$g(z) \geq g(1) =\frac{3}{2}$
Vậy,$MinB=\frac{3}{2}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 26-05-2014 - 20:36