Chủ đề này có 13 trả lời

[Hung Vu]

Bài 1:Cho $a,b,c$ là các số thực không âm phân biệt.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]$

Bài 2:Cho $x,y,z \in (0;1]$ thoả mãn $x+y-z \geq 1$.Tìm giá trị  nhỏ nhất của $B=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hung Vu: 26-05-2014 - 18:48

[nguyentrungphuc26041999]

Bài 1:Cho $a,b,c$ là các số thực phân biệt.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]$

Bài 2:Cho $x,y,z \in (0;1]$ thoả mãn $x+y-z \geq 1$.Tìm giá trị  nhỏ nhất của $B=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2}$

Bài này dùng nhiều bổ đề kinh

Thế này

Đặt $\frac{a}{b-c}=x,\frac{b}{c-a}=y,\frac{c}{a-b}=z$

ta có $\Rightarrow xy+yz+zx=-1$

mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{\left ( b-c \right )^{2}}\geq 2$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{a^{2}}{b-c}+1 \right )\geq 5$

$\Rightarrow \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( \sum \frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}} \right )\geq 5+2\left ( \sum \frac{bc}{\left ( b-c \right )^{2}} \right )$

ta lại có $\sum \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}=-1$

tiếp tục áp dụng $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}\geq 2$

thêm bớt thôi $\Rightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}-3\geq -1$

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{\left ( a-b \right )^{2}}\geq \frac{-1}{4}$

$\Rightarrow 5+2\sum \frac{bc}{\left ( b-c \right )^{2}}\geq \frac{9}{2}$

Vậy $MIN A=\frac{9}{2}$

 dấu bằng xảy ra khi $x+y+z=0$ cái này bạn giải ra nhé

[I Am Gifted So Are You]

Bài 1: Bắt đầu từ đẳng thức 
$\frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}+\frac{b+c}{b-c}.\frac{c+a}{c-a}+\frac{c+a}{c-a}.\frac{a+b}{a-b}=-1$
Ta có bđt $(\frac{a+b}{a-b})^2+(\frac{b+c}{b-c})^2+(\frac{c+a}{c-a})^2\geq 2$
$A=\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+\frac{b^2+c^2}{(b-c)^2}+\frac{c^2+a^2}{(c-a)^2}+(\frac{a}{b-c})^2+(\frac{b}{c-a})^2+(\frac{c}{a-b})^2$

_Ta có
$\sum \frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}=\sum \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{(a-b)^2}=\sum (\frac{a+b}{a-b})^2+3\geq 5$
_ Có đẳng thức $ \prod \left ( \frac{a}{b-c}+1 \right )=\prod \left ( \frac{a}{b-c}-1 \right ) $
$\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b-c}.\frac{b}{c-a}=-1$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{a}{b-c} \right )^2\geq 2$
từ các điều trên ta có $A\geq \frac{9}{2}$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Am Gifted So Are You: 26-05-2014 - 17:11

[xCaroZ]

Bài này dùng nhiều bổ đề kinh

Thế này

Đặt $\frac{a}{b-c}=x,\frac{b}{c-a}=y,\frac{c}{a-b}=z$

ta có $\Rightarrow xy+yz+zx=-1$

mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )$

$\Rightarrow \sum \frac{a}{\left ( b-c \right )^{2}}\geq 2$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{a^{2}}{b-c}+1 \right )\geq 5$

$\Rightarrow \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\left ( \sum \frac{1}{\left ( b-c \right )^{2}} \right )\geq 5+2\left ( \sum \frac{bc}{\left ( b-c \right )^{2}} \right )$

ta lại có $\sum \frac{a+b}{a-b}.\frac{b+c}{b-c}=-1$

tiếp tục áp dụng $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq -2\left ( xy+yz+zx \right )$

$\Rightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}\geq 2$

thêm bớt thôi $\Rightarrow \sum \left ( \frac{a+b}{a-b} \right )^{2}-3\geq -1$

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{\left ( a-b \right )^{2}}\geq \frac{-1}{4}$

$\Rightarrow 5+2\sum \frac{bc}{\left ( b-c \right )^{2}}\geq \frac{9}{2}$

Vậy $MIN A=\frac{9}{2}$

 dấu bằng xảy ra khi $x+y+z=0$ cái này bạn giải ra nhé

Có vẻ như bạn bài làm của bạn sai rồi nhá.Dấu $"="$ xẩy ra khi nào?bài này mình làm ra kết quả khác bạn,và mình tìm ra được cả dấu  $"="$ của bài toán luôn,bạn xem lại đi nhá!

[xCaroZ]

Bài 1:Cho $a,b,c$ là các số thực không âm phân biệt.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=(a^2+b^2+c^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}]$

Bài 2:Cho $x,y,z \in (0;1]$ thoả mãn $x+y-z \geq 1$.Tìm giá trị  nhỏ nhất của $B=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2}$

Bài 1:Giả sử $ c = min (a,b,c) $.Ta có:$0 <a-c \leq a$ và $0<b-c \leq b$

Khi đó,ta có: $P \geq (a^2+b^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}] =\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

Đặt :$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x,x>2$.Khi đó ta có:

$\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}=\frac{x}{x-2}$

$(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}) =\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2 =x^2$

Suy ra: $P \geq \frac{x}{x-2}+x^2$.

Xét hàm số: $f(x) =\frac{x}{x-2}+x^2$ với $x>2$

Ta có:$f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2-3x+1)}{(x-2)^2}$.Ta có:$f'(x)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2} >2$

Hàm $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(2;\frac{3+\sqrt{5}}{2})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty)$

Do đó:$MinA=Minf(x)_{x \in (2;+\infty)} =f(\frac{3+\sqrt{5}}{2}) =\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$.Dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $c=0$ và $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ cùng các hoán vị

Chẳng hạn,khi cho $b=1$ thì dấu $"="$ xẩy ra tại $(a;b;c)=(\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{6\sqrt{5}-2}}{4};1;0)$

Bài 2:Theo giả thết ta có:$x+y-z \geq 1$ $\Leftrightarrow$ $x+y \geq 1+z$

Ta có: $B =\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2} =\frac{x^2}{x(y+z)}+\frac{y^2}{y(z+x)}+\frac{z}{xy+z^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwars ta có: $B \geq \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{z}{xy+z^2} (1)$

Đặt :$t=x+y$,theo giả thiết ta có:$1+z \leq t \leq 2$ và $xy \leq \frac {t^2}{4} (2)$

Theo $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được:$B \geq \frac{2t^2}{t^2+2zt}+\frac{4z}{t^2+z^2}=f(t)$.Xét hàm $f(t)$ trên $[1+z;2]$ ta có

$f'(t) = 4zt [\frac{t}{ (t^2+2zt)^2}-\frac{2}{(t^2+4z^2)}]$,mặt khác do $t \geq z+1$ và $z \leq 1$ nên $2zt \geq 4z^2$ suy ra $\frac{t}{(t^2+2zt )^2}\leq \frac{2}{t^2+4z^2}$ $\Rightarrow$ hàm $f(t)$ nghịch biến với mọi $t \in [z+1;2]$ $\Rightarrow$ $f(t) \geq f(2)=\frac{2}{1+z}+\frac{z}{z^2+1}=g(z)$

Khảo sát hàm $g(z)$  trên $(0;1]$ ta có:$g'(z)=-\frac{2}{(1+z)^2} +\frac{1-z^2}{(z^2+1)^2} \leq 0$ với mọi $z \in (0;1]$.Suy ra,hàm $g(z)$ nghich biến trên $(0;1]$

Suy ra,$g(z) \geq g(1) =\frac{3}{2}$

Vậy,$MinB=\frac{3}{2}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xCaroZ: 26-05-2014 - 20:36

[midory]

Nếu dễ quá thì a/c bỏ qua cho lính mới nhé (Bài này giải toàn bộ theo pp biến đổi tương đương )

1, $\frac{x^{2}+3}{\sqrt{x^{2}+2}}$ >2

2,$\frac{a^{2}}{1+a^{4}}\leq \frac{1}{2}$

3,cho a>b>0;$c\geq \sqrt{ab}$ . cmr :$\frac{c+a}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}} \geq \frac{c+b}{\sqrt{c^{2}+b^{2}}}$

4,$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{14}{a+b}$ (a,b>0)

5, $\frac{b+c}{bc}\geq \frac{4}{b+c}$ (b,c >0)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi midory: 27-05-2014 - 15:34

[25 minutes]

Bài 1:Giả sử $ c = min (a,b,c) $.Ta có:$0 <a-c \leq a$ và $0<b-c \leq b$

Bài 2:Theo giả thết ta có:$x+y-z \geq 1$ $\Leftrightarrow$ $x+y \geq 1+z$

Bạn nên để ý là tác giả đã sử đề bài, lúc đầu với $a,b,c$ là các số thực thì $2$ bạn trên làm không có gì sai

Còn khi đề bài được sửa là $a,b,c$ không âm thì bài làm của bạn đúng

Thêm lưu ý là ở bài $2$ ta có $xy+z^2\leqslant 1+z\leqslant x+y$

Vì thế $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{xy+z^2}\geqslant \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

[xCaroZ]

Bạn nên để ý là tác giả đã sử đề bài, lúc đầu với $a,b,c$ là các số thực thì $2$ bạn trên làm không có gì sai

Còn khi đề bài được sửa là $a,b,c$ không âm thì bài làm của bạn đúng

Thêm lưu ý là ở bài $2$ ta có $xy+z^2\leqslant 1+z\leqslant x+y$

Vì thế $\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{xy+z^2}\geqslant \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Bài 2 đơn giản thế này mà không nghĩ ra nhỉ

[nguyentrungphuc26041999]

Bài 1:Giả sử $ c = min (a,b,c) $.Ta có:$0 <a-c \leq a$ và $0<b-c \leq b$

Khi đó,ta có: $P \geq (a^2+b^2)[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}] =\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}+(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})$

Đặt :$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x,x>2$.Khi đó ta có:

$\frac{a^2+b^2}{(a-b)^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2-2ab}=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}=\frac{x}{x-2}$

$(a^2+b^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}) =\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2 =x^2$

Suy ra: $P \geq \frac{x}{x-2}+x^2$.

Xét hàm số: $f(x) =\frac{x}{x-2}+x^2$ với $x>2$

Ta có:$f'(x)=\frac{2(x-1)(x^2-3x+1)}{(x-2)^2}$.Ta có:$f'(x)=0$ $\Leftrightarrow$ $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2} >2$

Hàm $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(2;\frac{3+\sqrt{5}}{2})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty)$

Do đó:$MinA=Minf(x)_{x \in (2;+\infty)} =f(\frac{3+\sqrt{5}}{2}) =\frac{11+5\sqrt{5}}{2}$.Dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $c=0$ và $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ cùng các hoán vị

Chẳng hạn,khi cho $b=1$ thì dấu $"="$ xẩy ra tại $(a;b;c)=(\frac{3+\sqrt{5}+\sqrt{6\sqrt{5}-2}}{4};1;0)$

Bài 2:Theo giả thết ta có:$x+y-z \geq 1$ $\Leftrightarrow$ $x+y \geq 1+z$

Ta có: $B =\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^2} =\frac{x^2}{x(y+z)}+\frac{y^2}{y(z+x)}+\frac{z}{xy+z^2}$

Áp dụng Cauchy-Schwars ta có: $B \geq \frac{(x+y)^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{z}{xy+z^2} (1)$

Đặt :$t=x+y$,theo giả thiết ta có:$1+z \leq t \leq 2$ và $xy \leq \frac {t^2}{4} (2)$

Theo $(1)$ và $(2)$ ta suy ra được:$B \geq \frac{2t^2}{t^2+2zt}+\frac{4z}{t^2+z^2}=f(t)$.Xét hàm $f(t)$ trên $[1+z;2]$ ta có

$f'(t) = 4zt [\frac{t}{ (t^2+2zt)^2}-\frac{2}{(t^2+4z^2)}]$,mặt khác do $t \geq z+1$ và $z \leq 1$ nên $2zt \geq 4z^2$ suy ra $\frac{t}{(t^2+2zt )^2}\leq \frac{2}{t^2+4z^2}$ $\Rightarrow$ hàm $f(t)$ nghịch biến với mọi $t \in [z+1;2]$ $\Rightarrow$ $f(t) \geq f(2)=\frac{2}{1+z}+\frac{z}{z^2+1}=g(z)$

Khảo sát hàm $g(z)$  trên $(0;1]$ ta có:$g'(z)=-\frac{2}{(1+z)^2} +\frac{1-z^2}{(z^2+1)^2} \leq 0$ với mọi $z \in (0;1]$.Suy ra,hàm $g(z)$ nghich biến trên $(0;1]$

Suy ra,$g(z) \geq g(1) =\frac{3}{2}$

Vậy,$MinB=\frac{3}{2}$,dấu $"="$ xẩy ra $\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$

$x>2$ mà $x=1$ à,sai rồi kìa,còn bài này mình đã học từ năm ngoái,đúng chứ không sai được

[xCaroZ]

$x>2$ mà $x=1$ à,sai rồi kìa,còn bài này mình đã học từ năm ngoái,đúng chứ không sai được

$x>2$ là điều kiện của bài 1 mà bạn?còn $x=1$ là dấu $"="$ của bài 2 bạn nhá.Bạn xem kĩ lại đi.Bài 1 mình lấy $x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ chứ không phải $x=1$ nha.

Còn bài giải của bạn là đúng rồi,mình đã nhầm khi không để ý kĩ đoạn trích dẫn của bạn đề bài đã bị tác giả sửa lại.Thành thật xin lỗi bạn

[tuananh2000]

Nếu dễ quá thì a/c bỏ qua cho lính mới nhé (Bài này giải toàn bộ theo pp biến đổi tương đương )

1, $\frac{x^{2}+3}{\sqrt{x^{2}+2}}$ >2

2,$\frac{a^{2}}{1+a^{4}}\leq \frac{1}{2}$

3,cho a>b>0;$c\geq \sqrt{ab}$ . cmr :$\frac{c+a}{\sqrt{c^{2}+a^{2}}} \geq \frac{c+b}{\sqrt{c^{2}+b^{2}}}$

4,$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{14}{a+b}$ (a,b>0)

5, $\frac{b+c}{bc}\geq \frac{4}{b+c}$ (b,c >0)

1, $\frac{x^{2}+3}{\sqrt{x^{2}+2}}>2 \Leftrightarrow$        $\frac{x^2+3-2\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}} >0$ Do  $\sqrt{x^{2}+1} >0$ nên ta c/m $x^2+3-2\sqrt{x^{2}+1} >0$ $\Leftrightarrow (x^{2}+1)^2>0$ Đúng => đpcm      2 $\frac{a^{2}}{1+a^{4}}\leq \frac{a^{2}}{2a^{2}} =\frac{1}{2}$    3  $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ cái này là Cô-si mà 4   cái này dễ

[midory]

1, $\frac{x^{2}+3}{\sqrt{x^{2}+2}}>2 \Leftrightarrow$        $\frac{x^2+3-2\sqrt{x^{2}+1}}{\sqrt{x^{2}+1}} >0$ Do  $\sqrt{x^{2}+1} >0$ nên ta c/m $x^2+3-2\sqrt{x^{2}+1} >0$ $\Leftrightarrow (x^{2}+1)^2>0$ Đúng => đpcm      2 $\frac{a^{2}}{1+a^{4}}\leq \frac{a^{2}}{2a^{2}} =\frac{1}{2}$    3  $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ cái này là Cô-si mà 4   cái này dễ

ko dùng co-si đâu 

nếu co-si dùng đc thì lm theo cách khác đấy

bài này gợi ý biến đổi tương đương toàn bộ

[tuananh2000]

ko dùng co-si đâu 

nếu co-si dùng đc thì lm theo cách khác đấy

bài này gợi ý biến đổi tương đương toà

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b} \Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b} - \frac{4}{a+b} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(a-b)^{2}}{ab(a+b)}\geq 0$ P/s: Hình như thiếu đk

[midory]

1, cho x, y, z $\geq 0$ và x, y, z =1. CMR: $x^{4}+y^{4}+z^{4} \geq x+y+z$

2, cho a,b,c,d >0 và TM $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}\geq 3$

CMR: $abcd \leq \frac{1}{81}$